第08讲：圆锥曲线（大题） （必刷7大考题+7大题型）-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019）

第08讲：圆锥曲线（大题） 【考点梳理】 考点一：椭圆中的弦长、 中点弦问题 考点二：椭圆中定点、定值、定直线问题 考点三：双曲线中的弦长、 中点弦问题 考点四：双曲线中定点、定值、定直线问题 考点五：抛物线中的弦长、 中点弦问题 考点六：抛物线中定点、定值、定直线问题 考点七：圆锥曲线的最值问题 【知识梳理】 知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 知识点二:圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|. 知识点三：抛物线的重要结论 1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 【题型归纳】 题型一：椭圆中的弦长、 中点弦问题 1．（2023上·甘肃武威·高二校考期中）已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长. 2．（2023上·广西贵港·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程． 3．（2023下·湖北恩施·高二校考期末）已知椭圆：的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半． (1)求的方程； (2)已知直线：与椭圆相交于两点，，求线段的长度； (3)经过点作直线，交椭圆于、两点如果恰好是线段的中点，求直线的方程． 题型二：椭圆中定点、定值、定直线问题 4．（2023上·江西萍乡·高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线 ， 与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标. 5．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知椭圆的离心率为，过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，D，E，F为椭圆上不同于A，B的点，且，.当l的斜率为0时，的最大面积为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)的面积是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 6．（2023上·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，动点在椭圆上且异于点、，直线、与直线分别交于点、. (1)求椭圆的标准方程； (2)求线段长的最小值； (3)如图，设直线与轴交于点，过点作直线交椭圆与、，直线与交于一点，证明：点在一条定直线上. 题型三：双曲线中的弦长、 中点弦问题 7．（2023下·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3． (1)求的方程； (2)经过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程． 8．（2021上·江西·高二上高二中校考期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（）， (1)求双曲线C的标准方程 (2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值. 9．（2023下·湖南湘潭·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 题型四：双曲线中定点、定值、定直线问题 10．（2023下·云南保山·高二校联考期末）设双曲线的焦距为6，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与