27.1.2 第2课时 垂径定理　课件　2023—2024学年华东师大版数学九年级下册

第27章　圆 27.1　圆的认识　 27.1.2　圆的对称性　 第2课时　垂径定理 单击此处编辑母版文本样式 通过操作、观察、猜想、证明等活动，掌握垂径定理，并能应用垂径定理，解决有关圆的问题. ◎重点:垂径定理及推论. ◎难点:灵活应用垂径定理解决问题. 素养目标 单击此处编辑母版文本样式 准备一张圆形纸片，记作☉O，作任意一条弦，记作AB，用折叠的方式，折出一条垂直于弦AB的直径，记作CD，与弦AB的交点记作点P.你能从折叠后的图中，找出哪些相等的线段？哪些相等的弧？ 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 ·导学建议· 可以只让学生操作、观察，而不需要学生回答“导入”中的问题，在课上再让学生作出准确的回答. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 垂径定理  请你阅读课本“试一试”至“证明”的内容，思考:课本的图中有哪些相等的线段？有哪些相等的弧？如何证明？ 1.观察“导入”中折叠的圆或课本上的图形，找一找，其中有哪些相等的线段？有哪些相等的弧？ 解:AP＝BP，＝，＝. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.请你阅读课本上的证明过程. 归纳总结　垂径定理:　垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧　.  符号语言:∵CD经过点O且垂直AB于点P， ∴　AP＝BP，＝，＝.　  垂直于弦的直径平分弦并且平分弦 所对的两条弧 AP＝BP，＝，＝. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 垂径定理的推论  请你阅读课本“类似于上面的证明”下面的部分，思考:由垂径定理可以得出哪些推论？ 1.如图，如果已知CD是直径，AP＝BP，则CD与AB有怎样的位置关系？、相等吗？、呢？请说明理由. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 解:CD⊥AB，＝，＝. 证明:连接OA、OB，在△AOP和△BOP中，AO＝BO，OP＝OP，AP＝BP， ∴△AOP≌△BOP， ∴∠APO＝∠BPO＝90°，∴CD⊥AB. ∴△AOP≌△BOP， ∴∠APO＝∠BPO＝90°，∴CD⊥AB. 由△AOP≌△BOP可知∠AOP＝∠BOP，则＝， ∴＝. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.如上图，若已知CD经过点O与弦AB交于点P，并且＝，AB与CD有怎样的关系？请说明理由. 解:CD垂直平分AB. 证明:连接AO、BO，由＝得∠AOP＝∠BOP， 在△AOP和△BOP中，AO＝BO，∠AOP＝∠BOP，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP， ∴AP＝BP，∠APO＝∠BPO＝90°， ∴CD⊥AB. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 　　归纳总结　垂径定理的推论1:　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧　.  符号语言:∵CD经过点O，交AB于点P，AP＝BP，∴　CD⊥AB，＝，＝　.  垂径定理的推论2:　平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦　.  平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 CD⊥AB，＝，＝ 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 符号语言:∵CD经过点O，交AB于点P，＝，∴　AP＝BP，CD⊥AB　.  AP ＝BP，CD⊥AB 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 ·导学建议· 垂径定理一共有五个条件，“直径”“垂直”“平分弦”“平分优弧”“平分劣弧”，知二即可推三，应用起来十分灵活，要在学生初次接触时让学生分清这五个条件，根据题意灵活选择. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 如图，AB是☉O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中错误的是(　C　) C A.∠COE＝∠DOE B.CE＝DE C.AE＝BE D.＝ 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 1.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB＝9，BE＝1，则CD＝　4　.  4 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 2.如图，已知线段CD与☉O交于A，B两点，且OC＝OD.试比较线段AC和BD的大小，并说明理由. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:线段AC＝BD.理由如下: 如图，过O作OE⊥CD，点E为垂足. ∵OE⊥AB， ∴EA＝EB， 又∵OC＝OD，OE⊥CD， ∴CE＝DE， ∵OE⊥AB， ∴EA＝EB， 又∵OC＝OD，OE⊥CD， ∴CE＝DE， ∴AC＝BD. ∴AC＝BD. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 　若上题中已知AC＝BD，则OC和OD相等吗？说明理由. 解:相等.理由如下: 如图，过O作OE⊥CD，点E为垂足. ∵OE⊥AB， 如图，过O作OE⊥CD，点E为垂足. ∵OE⊥AB， ∴EA＝EB，∠OEC＝∠OED＝90°. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 又∵AC＝BD， ∴C