26.3 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题 2023-2024学年华东师大版九年级下册数学

第26章　二次函数 26.3　实践与探索　 第1课时　建立二次函数模型解决实际问题 单击此处编辑母版文本样式 1.会建立二次函数模型，解决与之相关的运动物体中的实际问题. 2.会运用二次函数模型解决销售中最大利润等问题，体会运用数学模型选择最优化方案. 3.体会数学建模的思想，感受数学的实际应用价值. ◎重点:建立二次函数模型解决实际问题. ◎难点:进一步发展数学建模思想. 素养目标 单击此处编辑母版文本样式 法国著名数学家卡尔说过:“我们所解决的每一个问题，将成为一种模式，用于解决其他问题.”如:司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间.之后汽车还会继续行驶一段距离.我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图). 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 已知汽车的刹车距离s(单位:米)与车速v(单位:米/秒)之间有如下关系:s＝tv＋kv2，其中t为司机的反应时间(单位:秒)，k为制动系数.本节课我们就来学习运动物体中的二次函数关系. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 建立二次函数模型解决实际问题  阅读课本本课时所有内容，回答下列问题. 1.填一填:(1)在“问题1”中，水流在各个方向上都是沿形状相同的　抛物线　路径落下，故可以建立　平面直角坐标系　，构建其中一道水流的二次函数模型，就可以得到所有水流的运动路径.  抛物线 平面直角坐标 系 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 (2)其中一道水流的二次函数表达式为y＝－x2＋2x＋，水流的最大高度是二次函数的　最大值　，故配方后二次函数表达式为　y＝－(x－1)2＋　.  最大值 y＝－(x－1)2＋ 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 (3)水流离水池中央最远的距离是“图26.3.1”中线段　OB　的长度，令y＝0，可得　－(x－1)2＋　＝0，解得　x1＝－，x2＝　，则水池的半径至少为　2.5　m.  OB －(x－1)2＋ x1＝－， x2＝ 2.5 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.讨论:生活中，还有哪些物体的运动轨迹是抛物线型的. 喷泉，炮弹，篮球等等. 3.说一说:在“问题2”中，如“图26.3.2”所示建立直角坐标系. (1)由于二次函数顶点为原点，故其表达式可以设为　y＝ax2　.根据题意，点B的坐标为　(0.8，－2.4)　，解得二次函数的表达式为　y＝－x2　.  y＝ ax2 (0.8，－2.4) y＝－x2 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 (2)根据题意点D的纵坐标为　－0.9　，故可得方程　－x2＝－0.9　，解得点D的横坐标为 　，则涵洞宽DE为 　 .  －0.9 － x2＝－0.9 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 　“问题1”中已经帮助我们建立好了二次函数模型，只需要通过实际问题中的数据，写出二次函数表达式，并解决其中的相关问题即可.在“问题2”中，则需要根据实际问题中的已知条件，建立二次函数模型后，再解决问题. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 拱桥问题 1.如图，有一个抛物线的拱桥，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点M 5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱应取多长？ 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:由题意可知抛物线的顶点坐标为(20，16)，点B(40，0)，∴可设抛物线的关系为y＝a(x－20)2＋16. ∵点B(40，0)在抛物线上，∴a(40－20)2＋16＝0， ∴a＝－.∴y＝－(x－20)2＋16. ∵铁柱柱脚的点为(15，0)或(25，0)， ∴当x＝15时，y＝－(15－20)2＋16＝15；当x＝25时，y＝－(25－20)2＋16＝15 . ∴铁柱应取15 m. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 运动中的抛物线问题 2.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足关系式y＝a(x－6)2＋2.6.已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 (1)求y与x的函数关系式. (2)球能否越过球网？ (3)球会不会出界？请说明理由.(≈6.2) 解:(1)把点A(0，2)代入关系式得2＝a(－6)2＋2.6，解得a＝－， 则y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵当x＝9时，y＝－(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网. (3)∵当x＝18时，y＝－(18－6)2＋2.6＝0.2＞0， ∴球会出界. 合作探究 单击