第04讲 二次根式化简求值的解题技巧-2023-2024学年八年级数学下册寒假自学课（人教版）

第04讲 二次根式化简求值的解题技巧 【人教版】 ·模块一 公式变形法 ·模块二 整体代入法 ·模块三 辅元法 ·模块四 利用隐含条件进行化简求值 ·模块五 分母有理化 ·模块六 课后作业 模块一 公式变形法 【例1.1】（2023下·河北承德·八年级统考期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023下·北京房山·八年级统考期末）已知，求代数式的值． 【例1.3】（2023下·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023下·江苏·八年级统考期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式1.2】（2023上·八年级单元测试）已知，，则的值为 【变式1.3】（2023下·山东威海·八年级统考期末）（1）若，求； （2）若，求的值． 模块二 整体代入法 【例2.1】（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知，则 ． 【例2.2】（2023上·全国·八年级专题练习）已知，求． 【例2.3】（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023上·上海嘉定·八年级校联考期中）已知，求的值 【变式2.2】（2023上·四川内江·八年级校考期中）当时，多项式的值为 【变式2.3】（2023下·上海闵行·八年级校考期末）先化简，再求值：，其中，． 模块三 辅元法 【例3.1】（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）已知，则______． 【例3.2】（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）计算结果为(    ) A. B. C. D. 【例3.3】（2023上·河北邢台·八年级校考期中）先化简再求值：，其中，． 【变式3.1】（2023下·四川广安·八年级校考期中）已知数满足出，则______． 【变式3.2】（2023下·江西赣州·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再按要求解答问题： 例：求的值． 解：设， 两边平方，得， 即， 请解决下面问题： 完成例题中未完成的部分； 请利用上述方法，求的值． 【变式3.3】（2023上·四川·八年级四川师范大学附属中学校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： ； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 模块四 利用隐含条件进行化简求值 【例4.1】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）已知x，y是实数，且满足，化简： 【例4.2】（2023下·河南洛阳·八年级校考期中）已知实数a、b满足（4a﹣b＋11）2＋＝0，求a••（÷）的值． 【例4.3】（2023上·上海长宁·八年级校考期中）已知化简并求值 【变式4.1】（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）已知，则 ． 【变式4.2】（2023下·山东威海·八年级荣成市第十四中学校联考期中）已知a，b满足，则=   ． 【变式4.3】（2023上·贵州毕节·八年级校考期末）若，为实数，且．求的值． 模块五 分母有理化 【例5.1】（2023下·广西百色·八年级统考期中）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： （1）分母有理化：______； （2）计算：； （3）若，求的值． 【例5.2】（2023上·四川成都·八年级校联考期中）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题： 若，则代数式的值是 ． 【例5.3】（2023下·广东江门·八年级校联考期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：　　（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　． (3)应用运算规律，求的值． 【变式5.1】（2023上·湖南娄底·八年级校考期末）计算： 【变式5.2】（2023下·安徽滁州·八年级校联