导数与极值，最值讲义-2024届高三数学一轮复习

四、导数与函数的极值、最值 1、函数的导数与极值 (1)极大值：如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，且f ′(x0)＝0，那么f(x0)是极大值； (2)极小值：如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，且f ′(x0)＝0，那么f(x0)是极小值． ★极值点 2、函数的最值与导数 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为： (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【例1】（1）已知函数求函数的极值． 【解析】 ，， (0,1) 1 (1,+∞) - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以在x=1处取得极小值1．函数没有极大值． （2）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则＝________. 【解析】由题意知，f(x)=3x2+2ax+b , f(1)=0 , f(1)=10, 即，解得，经检验 ，满足题意，故. （3）函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________． 【解析】y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝.因为f(－1)＝－4，f(0)＝0，＝－，f(2)＝8. 所以最大值为8. 【变式探究1】 1、 已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝x2－x，则使得f(x)取得极大值的x＝________. 2、 数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________. 3、已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________． 4、已知函数. 若在时，有极值，则=_________ 5、已知．设是的极值点，则=_________ 6、已知x=1是函数的一个极值点，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为__________． 2、导数与零点 【例2】设函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间与极值； (3)若方程有实数解，求实数的范围． 【解析】 (1)的定义域为，，，又， ∴曲线在处的切线方程为，即； (2)，令，得，列表如下： 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间是，； (3)∵在上左减右增，且在处取极小值，无极大值，则， 又∵可化简为，可看作与图象交点，则． 【变式探究2】 1、已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 2、设函数，其中． （Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值； （Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 习题： 四、导数与函数的极值、最值 1、函数在其极值点处的切线方程为_________________ . 2、函数y＝2x3－3x2－12x＋a在区间[0,2]上的最大值为5，则a的值为________． 3、函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则实数a等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4、已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 5、已知a函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a=（ ） A、 -4 B、 -2 C、 4 D、 2 6、设，若为函数的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 7. 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 8、已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 学科网（北京）股份有限公司 $$