4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2023-12-25

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特供

内容正文：

4.2.2 等差数列的前n项和公式 (第一课时) 第四章数列返回导航下一页上一页前面我们学习了等差数列的概念和通项公式,下面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题. 据说,200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题: 1+2+3+‧‧‧+100=? 高斯(Gauss,1777-1855),德国数学家,近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案: (1+ 100)+(2+99)+‧‧‧+ (50+51)=101 50= 5050. 思考你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗?你能从中得到求数列的前n项和的方法吗? 第四章数列返回导航下一页上一页配对偶数项高斯的算法: (1+ 100)+(2+99)+‧‧‧+ (50+51)=101 50= 5050. 第四章数列返回导航下一页上一页这里用到了数列的重要性质: 若p+q=s+t,则ap+ aq=as+ at,它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和,从而简化了运算. 第四章数列返回导航下一页上一页奇数项思路2(拿出中间项,再首尾配对) 原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51 思路1(拿出末项,再首尾配对) 原式=(1+2+3+… + 100)+101 思路3(先凑成偶数项,再配对) 原式=(1+2+3+… + 100+102)-102 思路4(先凑成偶数项,再配对) 原式=0+1+2+3+… + 100+101 思考你能用高斯的方法求1+2+ ‧‧‧ +100+101吗? 第四章数列返回导航下一页上一页将上述方法推广到一般,可以得到: 于是有当n是偶数时,有当n是奇数时,有 ∴对任意正整数n,都有第四章数列返回导航下一页上一页思考我们发现,在求前n个正整数的和时,要对n分奇数、偶数进行讨论,比较麻烦. 能否设法避免分类讨论? 这种求和方法叫倒序相加法第四章数列返回导航下一页上一页把这种倒序相加求和的方法推广到求等差数列{an}的前n项和, 可得 ∴等差数列{an}的前n项和公式为 ∴等差数列{an}的前n项和公式还可写成 (1) (2) 第四章数列返回导航下一页上一页倒序相加法能否推广到求等差数列{an}的前n项和? 第四章数列返回导航下一页上一页思考不从公式(1)出发,你能用其他方法得到公式(2)吗? ∴等差数列{an}的前n项和公式为第四章数列返回导航下一页上一页等差数列{an}的相关公式及性质: 1.等差数列{an}的通项公式: 2.等差数列{an}的前n项和公式: 3.等差数列{an}的重要性质: 第四章数列返回导航下一页上一页知首项/末项知首项/公差首末项的平均数即为前n项的平均数第四章数列返回导航下一页上一页第四章数列返回导航下一页上一页例6 已知数列{an}是等差数列. 第四章数列返回导航下一页上一页第四章数列返回导航下一页上一页例7 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 第四章数列返回导航下一页上一页第四章数列返回导航下一页上一页第四章数列返回导航下一页上一页第四章数列返回导航下一页上一页第四章数列返回导航下一页上一页第四章数列返回导航下一页上一页练习1.若一个等差数列前3项和为34,最后三项和为146,且所有项的和为390,则这个数列共有_项. 13 第四章数列返回导航下一页上一页第四章数列返回导航下一页上一页 210 第四章数列返回导航下一页上一页图4.2-3中的电子表格A列中A1,A2,A3分别表示p,q,r的值,B列、C列中分别是相应的Sn和an的值. 教材探究第四章数列返回导航下一页上一页第四章数列返回导航下一页上一页第四章数列返回导航下一页上一页小结:等差数列的判定方法 ①定义法: ③通项法: ②等差中项法: ④前n项和公式法: 第四章数列返回导航下一页上一页小结: 2.等差数列的前n项和公式的应用 (1)当已知首项、末项和项数时,用前一个公式较为简便;当已知首项、公差和项数时,用后一个公式较好. (2)两个公式共涉及a1、d、n、an及Sn五个基本量,依据方程的思想,在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量,这也就是我们所说的“知三求二”. 第四章数列返回导航下

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