专题9.4 随机变量分布-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题9.4 随机变量分布 目录 题型一： 离散型随机变量的分布列性质 3 题型二： 确定离散型随机变量的分布列 4 题型三： 分布列的期望与方差 8 题型四： 方案评价与决策问题 10 知识点总结 离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0(i＝1,2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 【常用结论与知识拓展】 均值与方差的四个常用性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 例题精讲 离散型随机变量的分布列性质 【要点讲解】(1)研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．(2)进行相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0，i＝1,2，…，n和i＝1，随时验证计算的准确性．(3)随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与离散型随机变量混为一谈. 某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则　　 8 9 10 0.36 0.33 A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64 已知随机变量的分布列如表： 1 2 3 4 0.15 0.35 0.25 则实数　　 A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35 已知随机变量的分布列满足：，2，3，，其中为常数，则　　 A． B． C． D． 已知离散型随机变量的分布列，则　　 A．1 B． C． D． 某市卫生部门随机抽取该市的16所大学，对其食堂进行“进货渠道合格性”和“食品安全”量化评估，所有大学的食堂评分均在分范围内，以下表格记录了它们的评分情况： 评分 ， ， 大学所数 4 8 4 （1）现从16所大学中随机抽取3所，求至多有1所大学的食堂评分不低于9分的概率； （2）以这16所大学的食堂评分数据估计全市大学的食堂评分，若从全市的大学中任选3所，记食堂评分不低于9分的大学有所，求的分布列． 确定离散型随机变量的分布列 【要点讲解】离散型随机变量的分布列问题的解题策略：(1)先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”；(2)选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率；(3)列出分布列． 在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求： （1）取出的3个球中红球的个数的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）他能通过初试的概率． 某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数， （1）请列出的分布列； （2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意抽取3件， （1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率； （2）求取出的3件产品中次品的件数的概率分布列与期望． 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若