5.2.2同角三角函数的基本关系课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§5.2.2 同角三角函数的基本关系 1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 三角函数 定义域 R R 一全正，二正弦，三正切，四余弦 2.三角函数sinx,cosx,tanx正负号判断 （全是天才） 一、复习回顾 角α 00 900 1800 2700 3600 角α的弧度数 sinα cosα tanα 3.特殊角的三角函数值 三角函数 300 450 600 900 弧度数 sinθ cosθ tanθ 平方关系: 商数关系: 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 二、同角三角函数的基本关系 思考：对于平方关系 可作哪些变形？ 思考：对于商数关系 可作哪些变形？ 6 概念辨析： 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. 三、例题解析 从而 解:因为 ， 所以 是第三或第四象限角. 由 得 如果 是第三象限角,那么 如果 是第四象限角,那么 分类讨论：符号看象限！ 知一求二 探究点一 sin α,cos α,tan α知一求二 (2)已知tan α=-2,求cos α,sin α. 探究点二 已知正切值求值 (3)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. 即时训练2-1:已知tan α=3,求下列各式的值. (3)cos2α-3sin αcos α. 方法总结 已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式. 探究点三　三角函数式的证明 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α之间的关系 1.(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 2.(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2. 探究点四 同角三角函数的基本关系的综合应用 反思感悟 1.关于sin α,cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值. 2.已知正切值求形如sin αcos α,2sin2α-3cos2α等的值,代数式中不含分母,可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换.即先将1=sin2α+cos2α代换后,再同除以cos2α,构造出关于tan α的代数式. 课堂达标 A D 3.化简(1+tan2α)·cos2α=　　　　.  答案:1 (1)因为sin2+cos2=1,所以sin2α+cos2β=1成立,其中α,β为任意角.( × ) (2)对任意角α,sin α=cos αtan α都成立.( × ) (3)sin2+cos2=1.( √ ) (4)对任意的角α,都有tan α=成立.( × ) [例1] (1)若α是△ABC的一个内角,且cos α=-,求sin α,tan α的值; 解:(1)因为α是△ABC的一个内角,且cos α=-,所以<α<π. 所以sin α===. 所以tan α===-. (2)若sin α=,求tan α的值; 解:(2)因为sin α=>0,所以α是第一、二象限角. 当α是第一象限角时,cos α===,此时tan α=. 当α是第二象限角时,cos α=-=-=-, 此时tan α=-. 综上,当α是第一象限角时,tan α=;当α是第二象限角时,tan α=-. (3)若tan α=-,求sin α的值. 解:(3)因为tan α=-<0,所以α是第二、四象限角. 由可得sin2α=()2. 当α是第二象限角时,sin α=;当α是第四象限角时,sin α=-. 即时训练1-1:(1)已知sin α=-,且α是第四象限角,求cos α,tan α的值; 解:(1)因为sin α=-,且α是第四象限角,所以cos α>0, 所以cos α===, tan α===-. 解:(2)由已知,得解得或 解:(2)===. [例2] 已知=2,求下列各式的值. (1); 解:由=2,得tan α=2. (1)===-1. (2); 解:(3)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α = = ===1. (2)==. (3)cos2α-3sin αcos α===-. (1); 解:(1)由于tan α=3,故==. (2); (1)形如的分式,可将分子、分母同时除以cos α;形如的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正、余弦转化为正切求值. 证明:法一 右边= = = = =左边, 所以原式得证. [例3] 求证