6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 知识点归纳 一、两个向量和(差)的坐标表示 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝ . 二、向量坐标的几何意义 如图，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，坐标原点为O，则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标. 题型演练 题型一　平面向量的坐标运算 例1 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4) D.(1，4) 小结　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行求解. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行. 变式1 已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b. (1)求a＋b－c； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标. 题型二　平面向量坐标运算的应用 类型1　由向量相等求参数的值 例2 已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ).若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时： (1)点P在第一、三象限的角平分线上？ (2)点P在第三象限内？ 变式2 已知A(7，2)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a等于________. 类型2　向量坐标运算在平面几何中的综合应用 例3 已知点O(0，0)，A(1，2). (1)若点B(3t，3t)，＝＋，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由. 小结　1.由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. 2.利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则. 变式3 已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点. 总结 1.重要思想与方法 向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，两个向量相等，则它们的坐标相同，解题中应用了方程的思想与数形结合思想. 2.易错易混点提醒 已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·云南保山·高一统考期中）已知点，则与向量方向相反的单位向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 3．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）若，，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·云南·高一校联考期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·河北·高一校联考期末）已知，，且，令，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则（    ）      A． B． C． D． 8．（2023下·江苏连云港·高一校联考期中）已知点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的坐标为 B．，其中 C．线段的中点坐标为 D． 三、填空题 9．（2023下·江苏泰州·高一统考期中）如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足，则 ．    10．（2023下·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知点，，若点满足，则点的坐标为 ． 11．（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则 12．（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）在中，，，（，），若对任意的实数，恒成立，则边的最小值是 . 四、问答题 13．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，P是直线上一点，