第03讲　不等关系与不等式、基本不等式讲义-2023届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第03讲　不等关系与不等式、基本不等式 【知识必备】 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 2．不等式的基本性质 （1）对称性：； （2）传递性：； （3）可加性： （4）同加性：； （5）可乘性：， （6）同乘性：； （7）乘方性：； （8）开方性：． 特别提醒：（1）同向不等式可以相加，不能相减； （2）一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变． 3、基本不等式：，当且仅当时取等号 其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数 应用条件：“一正，二定，三相等” 通常表达为：（积定和最小）；（和定积最大） 考点10 比较代数式的大小 【思路提示】 （1）比较法（作差法和作商法）一种是作差法，解题步骤是：作差—变形—与0比较，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等，变形的目的是为了更有利于判断符号．另一种是作商法，解题步骤是作商—变形—与1比较．作商法通常适用于两代数式同号的情形． （2）中间量法：利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数的单调性判断其与的大小 （3）单调性法： ①利用函数性质比较数式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式； ②通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较； ③导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视． 【例10】1、若，试比较与的大小； 2、设，且，试比较与的大小； 3、设，则(　 　) A． B． C． 　 D． 4、若，则_______(填“＞”或“＜”)． 考点11 不等式的性质及应用 【思路提示】 (1)在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识。 (2)在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正数不等式”才可以相乘． (3)在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法． 角度1　不等式的性质 【例11】1、(多选题)已知，则下列不等式中一定成立的是(　 　) A．　　 B． C．　 D． 2、若，则下列不等式一定成立的是(　 　) A． B C． 　　D． 3、阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有．请依据以上材料解答问题： 已知是三角形的三边，求证：． 角度2　利用不等式的性质求范围问题 【思路提示】 1．利用不等式的性质求取值范围的方法：由，求的取值范围，可利用待定系数法解决，即设(或其他形式)，通过恒等变形求得 的值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得的取值范围． 2．此类问题的一般解法 (1)建立待求整体与已知范围的整体的关系； (2)通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．　　 4、 （1）已知，则的取值范围是_____，的取值范围是_____. （2）已知的取值范围是_____. 考点12 利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 【思路提示】 (1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性． (2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，也可以考虑利用消元思想，利用二次函数的解法． 【例11】1、已知，则的最大值为_____. 2、已知，则的最小值为_____. 3、若，则的最大值为_____. 4、已知正实数，满足，则的最小值为 . 角度2　常数代换法求最值 【思路提示】 (1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值． (2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解 4、已知正数满足，则最小值为_______； 5、已知正数满足，则的最小值为_______. 角度3　消元法 【思路提示】 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 6、已知正数满足，则的最小值为________. 7、已知正实数满足，则的最小值是__