6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 知识点归纳 一、 平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解. 二、平面向量的坐标表示 ①向量的坐标表示 ②向量坐标与点的坐标的关系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是 的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标. 提示：(1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y). (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同. (3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关. (4)向量平移前后，其坐标不变. 题型演练 平面向量的坐标表示 例1 （1）已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，的坐标. （2）已知在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A．(－，5) B．(，5) C．(－，－5) D．(，－5) 小结　1.平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标. 2.求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标. 变式1 (1)已知e1，e2分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且a＝4e1－3e2，则向量a的坐标为(　　) A.(4e1，3e2) B.(4e1，－3e2) C.(4，3) D.(4，－3) (2)已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________. 总结 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·江西·高一校联考期末）若点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·四川南充·高一统考期末）已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2023下·广东·高一校联考阶段练习）已知，则与同向的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（    ）    A．， B．， C．， D．， 6．（2023下·高一课时练习）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．B点的坐标是 C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是 二、多选题 7．（2023下·浙江金华·高一校考阶段练习）已知点，，则下列向量与平行的向量是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2023·高一课时练习）已知为坐标原点，点在第二象限，，则向量的坐标为 ． 9．（2023下·天津和平·高一耀华中学校考阶段练习）的三个顶点，，，则顶点的坐标为 . 10．（2023下·广东深圳·高一校考期中）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，，，．若，则点D的坐标为 ． 11．（2023·高一课时练习）已知，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是 ． 12．（2023·高一课时练习）与同向的单位向量为 ． 13．（2023·高一课时练习）已知，，，，用与的线性组合表示 ． 四、问答题 14．（2023·全国·高一课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 15．（2023·全国·高一课堂例题）如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    16．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，．    (1)求点B和点C的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量． B数学素养落实 一、单选题 1．（2023下·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）已知，向量绕着点顺时针方向旋转角得到，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·高一课时练习）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）设点A(1,2)，B(3,5)，将向量按向量＝(－1,－1)的方向平移后得到为（    ） A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,7) 4．（2022下·江西抚州·高一临川一中校考期中）已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为