6.3.1　平面向量基本定理-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.3.1　平面向量基本定理 知识点归纳 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ 基底 若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 提示：(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的. (2)基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值. (3)e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量. 题型演练 题型一　平面向量基本定理的理解 例1 (多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 小结　1.向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上，若{e1，e2}是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线.若共线，则不能作为基底，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底. 2.一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 变式1 如果{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，λ，μ为实数，判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量. 题型二　用基底表示向量 例2 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，. 小结　平面向量基本定理的作用以及注意点： (1)根据平面向量基本定理，平面内的任一向量可用同一组基底表示，进而建立起了向量之间的联系. (2)基底的选择，一般遵循“模已知、夹角已知”的原则. (3)利用已知向量表示未知向量时，通常借助向量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集中在封闭的图形中，利用三角形法则或者平行四边形法则快速找到表示法. 变式2 已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到点C，使BA＝AC，连接OC，DC.设＝a，＝b. (1) 用a，b表示，； (2)若与＋k共线，求k的值. 题型三　平面向量基本定理的综合应用 例3 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 小结　基底建模法是利用向量解决几何图形有关证明和求解问题的重要方法，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系. 变式3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 总结 1.重要思想与方法 (1)由平面向量基本定理可知，若e1，e2不共线，则由e1，e2的所有线性组合构成的集合{λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)}就是平面内的全体向量，其中{e1，e2}叫做这一平面内的所有向量的一组基底，这个定理体现了化归转化的数学思想方法. (2)利用基向量进行运算时，要借助几何直观，灵活运用几何性质，体现了数形结合的思想方法. 2.易错易混点提醒 要注意基底中的两个向量是不共线的. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知平行四边形中，，若，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（2023下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）在中，为边上的中线，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（2023下·广东佛山·高一校考期中）如图，在中，，点是的中点．设，，则（    ）    A． B． C． D． 6．（2023下·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）在平行四边形中，是对角线上靠近点的四等分点，点在上，若，则（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 7．（2023下·