专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 题型一： 位置关系的判定 4 题型二： 共点、共线、共面的证明 5 题型三： 异面直线所成角 7 题型四： 综合运用 10 知识点总结 平面的基本事实及推论 (1)基本事实 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 确定直线在平面内；判定点在平面内 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上 (2)基本事实1与2的推论 推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 空间点、直线、平面之间的位置关系 (1)空间中直线与直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 共面 直线 相交直线 在同一个平面内 1 平行直线 在同一个平面内 0 异面直线 不同在任何一个平面内 0 (2)空间中直线与平面的位置关系 位置 关系 直线在 平面内 直线与 平面相交 直线与 平面平行 公共点个数 无数个 1 0 图形表示 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外． (3)空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面相交 两个平面平行 公共点个数 无数个 (有一条公共直线) 0 符号表示 α∩β＝a α∥β 图形表示 常用唯一性结论 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面． (3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 异面直线所成角的范围是(0°，90°]． 例题精讲 位置关系的判定 【要点讲解】结合平面的基本事实及其相关推论进行判断，必要时画出图形分析. 设、、、为空间中的四个不同点，则“、、、在同一个平面上”是“、、、中有三点在同一直线上”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 下列说法中正确的是　　 A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点 空间不重合的三个平面可以把空间分成　　 A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 在正方体中，点是棱的中点，点是平面内的一点，且，则点为　　 A．一个定点 B．一个平面上任意一点 C．一条直线上任意一点 D．一个圆上任意一点 共点、共线、共面的证明 【要点讲解】(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；(2)要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用基本事实3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上；(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上. 在四棱柱中，，，，． （1）当时，试用表示； （2）证明：，，，四点共面； （3）判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由． 如图，在正方体，对角线与平面交于点．、交于点、为的中点，为的中点， 求证：（1）、、三点共线 （2）、、、四点共面 （3）、、三线共点． 如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证： （1），，，四点共面； （2）与的交点在直线上． 异