专题突破（2）——单摆中的等效思想研究（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中选择性必修第一册物理（人教版2019）

专题突破(二)——单摆中的等效思想研究 [见学生用书P97] 单摆是高中物理的一个实物模型，其难点在于单摆中的L、T、g的确定与计算，即周期公式的具体应用。 一、 等效摆长求周期 摆长指悬点到球心间的距离，以下三图中由等效摆长得周期公式分别为： T1＝2π　　　 T2＝2π T3＝π 二、 用等效重力加速度求周期 单摆中的g为等效重力加速度，一般有：(1)星球表面g＝GM/r2；(2)处于超失重状态g＝g0±a，完全失重g＝0；(3)其他力时g＝F/m，F为单摆静止时的拉力。 三、 等效单摆求时间 如图在光滑圆弧槽底端有一小球，圆弧半径R远大于圆弧长(θ≤5°)，其运动为简谐运动，周期为T＝2π。 【例1】 由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂小球C，如图所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°，当该小球向纸内外做微小摆动时，其摆动周期为(　D　) 例1图 A．2π B．2π C．2π D．2π 【解析】 本题是一个双线摆问题，解决其周期，首先得确定其等效摆长，连接AB，然后过摆球C作竖直线交直线AB于O点，则OC为该摆的等效摆长，如答图所示，L′＝＝L，故周期T＝2π＝2π，D正确。 【例2】 两个等长的单摆，一个放在地面上，另一个放在高空，当第一个摆振动n次的时间内，第二个摆振动了(n－1)次。如果地球半径为R，那么第二个摆离地面的高度为(　D　) A．nR　 B．(n－1)R C. D. 【解析】 设第二个摆离地面的高度为h，则距地心距离为(R＋h)，设此处重力加速度为g′，地表处重力加速度为g，则＝①，又由T＝2π，得＝，即＝②，由①②解得h＝，D正确。 【例3】 如图，用一根长为l的细线，将一个密度ρ＝0.8×103kg/m3的小球拴在盛水容器的底部。若使小球稍偏离平衡位置而振动，不考虑一切阻力，则它的周期是在空气中周期的(　B　) 例3图 A.倍 B．2倍 C．2倍 D．4倍 【解析】 设摆球的体积为V，则质量为m＝ρV。摆球在水中平衡时受重力mg、拉力F2、浮力F1作用，如图。由力的平衡条件可得F2＝F1－mg＝ρ水gV－ρ球gV＝。等效重力加速度为g′＝，摆在水中的周期为T＝2π＝4π，摆在空气中的周期为T0＝2π，所以＝2，B正确。 【例4】 如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R≫。甲球从弧形槽的圆心处自由下落，乙球从A点由静止释放，求两球第1次到达C点所用的时间之比。 　例4图 【答案】 。 【解析】 甲球做自由落体运动R＝gt，所以t1＝，乙球沿圆弧做简谐运动(由于≪R，可认为摆角θ＜5°)。此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处所用的时间为t2＝T＝×2π＝，所以t1∶t2＝。 【例5】 在升降机中挂着一单摆，摆长为L，当升降机以加速度a匀加速上升的过程中，证明此单摆在同一竖直面内的振动是简谐运动，并求该周期T。 【答案】 T＝2π。 【解析】 单摆在摆动过程中，受重力和绳的拉力F的作用，当升降机匀加速上升时，单摆一方面绕悬点振动，另一方面沿竖直方向做匀加速直线运动。根据力的作用效果，将F分解为F1、F2、F3三个力，如答图所示，在竖直方向上，F3与G的合力产生向上的加速度a，切线方向的F1使单摆返回“平衡”位置，产生切向加速度，F2沿摆线方向产生做圆周运动所需的向心加速度。因为F3－G＝ma，所以F3＝ma＋mg。又因为F⊥F1，所以F1＝F3sinθ＝m(a＋g)sinθ。当θ很小时，sinθ≈θ＝有F1＝m(g＋a)。故单摆在加速上升的升降机中所受回复力与位移成正比，且方向相反，得F1＝－x。单摆在升降机中摆动周期为T＝2π。 1．如图所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过θ角。若绳长为L，摆球质量为m，且风力稳定，当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时，其周期为(　B　) 第1题图 A．2π B．2π　 C．2π D．2π 【解析】 平衡时摆球受重力mg，风力F1，线的拉力F2，受力分析如答图所示。由力的平衡可得，摆球的视重为F2＝，等效重力加速度为g′＝＝，所以摆的周期为2π，B正确。 2．(多选)如图所示，为半径很大的光滑圆弧轨道上的一小段，小球B静止在圆弧轨道的最低点O处，另有一小球A自圆弧轨道上C处由静止滚下，经时间t与B发生正碰。碰撞后两球分别在这段圆弧轨道上运动而未离开轨道。当两球第二次相碰时(　BC　) 第2题图 A．间隔时间为4t B．间隔时间为2t C．将仍在O处相碰 D．可能在O点以外的其他地方相碰 【解析】 小球的运动可视为简谐运动，由振动的周期性知，两次相碰的间隔时间为2t，A错误，B正确；由单摆振动周期公式T＝2π(此处l即为圆弧轨道半径)知，两球周期相同，碰撞后应同时回到平衡位