专题5.4 三角函数的图象和性质-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题5.4 三角函数的图象和性质 知识点一 正弦曲线、余弦曲线 1.定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2.图象：如图所示． 3.正弦曲线和余弦曲线的关系 知识点二 “五点法”作函数的图象 ①列表：列出x,y的五组对应值表 ②描点：在平面直角坐标系中描出五点 ③用光滑的曲线顺次连接这五个点 知识点三 正弦、余弦及正切函数的图象与性质 正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当时，． 当时，；当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 奇偶性 ,奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形. 【特别提醒】 (1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调． (2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆． 知识点四 常用结论 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 考点01 “五点法”做函数的图象 【典例1】用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]； (2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]． 【典例2】用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图． (1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1． 【总结提升】 用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤： (1)列表： x 0 π π 2π sinx或cosx 0或1 1或0 0或－1 －1或0 0或1 y y1 y2 y3 y4 y5 (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(，y2)，(π，y3)，(，y4)，(2π，y5)． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 考点02 利用图象变换作三角函数的图象 【典例3】利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]； (2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]． 【典例4】关于三角函数的图象，有下列说法： ①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称； ②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同； ③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称； ④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称； 其中正确说法的序号是 ． 考点03 利用图象解三角不等式 【典例5】画出正弦函数y＝sinx(x∈R)的简图，并根据图象写出y≥时x的集合． 【典例6】观察正切曲线，解不等式tanx>1． 【规律总结】 1.用三角函数的图象解sinx>a(或cosx>a)的方法 (1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的图象． (2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值． (3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集． 2．利用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法 (1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集． 3.解形如tanx>a的不等式的步骤 ―→ ↓ ―→ ↓ ―→ ↓ ―→ 考点04 三角函数的定义域 【典例7】（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）函数的定义域为 ． 【典例8】（2023上·全国·高一专题练习）函数的定义域为 ． 【总结提升】 三角函数定义域的求法 (1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)． (2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线． (3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可