18.1 勾股定理　课件　2023—2024学年沪科版数学八年级下册

18.1 勾股定理 第 1 课时 勾股定理 沪科版数学八年级下册 第 18 章 勾股定理 新课导入 毕达哥拉斯在朋友家里做客时，从砖铺成的地面中发现了直角三角形三边的数量关系. 你从图片中发现了什么？ 两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积. 新课探究 探究 在行距、列距都是 1 的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以直角三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形. （1） a b c S1 S2 S3 观察图（1），并填写： S1=____个单位面积 S2=____个单位面积 S3=____个单位面积 9 9 18 （2） 观察图（2），并填写： S1=____个单位面积 S2=____个单位面积 S3=____个单位面积 9 16 25 a b c S1 S2 S3 图（1）（2）中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：___________. a2+b2=c2 定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理. 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为 a2+b2=c2 涨知识 汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦. 1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c. （1）已知 a = 6，c = 10，求 b； （2）已知 a = 5，b = 12，求 c； （3）已知 c = 25，b = 15，求 a. b = 8 c = 13 a = 20 练习 2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形 A，B，C，D 的边长分别是 12，16，9，12，求最大正方形 E的面积. 解：根据图形正方形E 的边长为: 故E的面积为：252 = 625. 已知：如图（1），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b. 求证：a2 + b2 = c2. （1） A C B a b c 证明：取 4 个与 Rt△ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如图（2）所示的边长为 a+b 的正方形EFGH. H G E F A1 B1 C1 D1 a a a a b b b b c c c c （2） H G E F A1 B1 C1 D1 a a a a b b b b c c c c 从图中可见， A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c. 因为∠B1A1E+∠A1B1E=90°， 而∠A1B1E=∠D1A1H， 因此∠B1A1E+∠D1A1H=90°， ∠D1A1B1=90°. 同理：∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°， H G E F A1 B1 C1 D1 a a a a b b b b c c c c 所以四边形A1B1C1D1是边长为c的正方形. S正方形EFGH – 4S△ABC =S正方形A1B1C1D1, 即（a+b）2 – 4× ab=c2. 化简，得a2+b2=c2. 1 2 你还有其他的方法证明吗？ b b a a S=a2+b2 a c b a c b 小正方形的面积= (a-b)2 即c2=a2+b2. =c2-4× ab 16 如图是我国古代证明该命题的“赵爽弦图”. 赵爽弦图 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实. 你是如何理解的？你会证明吗？　　 世界上几个文明古国相继发现和研究过勾股定理，据说其证明方法多达 400 多种，有兴趣的同学可以继续研究. 1874年美国总统Garfield证明 A B C D E a b c c a b 练习 作8个全等的直角三角形(2条直角边长分别为a、b斜边长为 c)再作3个边长分别为 a、b、c 的正方形把它们拼成两个正方形(如图)你能利用这两个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程. 解：由图可知大正方形的边长为：a+b则面积为(a+b)2，图中把大正方形的面积分成了四部分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为b，宽为a的长方形. 根据同一个图形面积相等，由左图可得 (a+b)2=a2+b