27.1.2垂径定理及其推论的应用　讲义　　2023—2024学年华东师大版数学九年级下册

垂径定理及推论的应用 一、知识点: (一) 垂径定理及推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （二）说明： 1.垂径定理的作用是：求半径的长度，弦的长度，弦心距、弓高。 2.利用垂径定理及推论解题添辅助线的方法： ①有弦，有半径，过圆心做垂线 ②有弦，有垂直，连半径 ③有弦，过圆心做垂直，连半径 总之，是构造直角三角形，利用勾股定理解决问题。 二、题型： （一）利用垂径定理及其推论判断正误 1.下列说法正确的是（　　） ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 ②平分弦的直径平分弦所对的弧 ③垂直于弦的直线必过圆心 ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧 A．②③ B．①③ C．②④ D．①④ 2.如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． （二）利用垂径定理及其推论求值 （Ⅰ）利用垂径定理及其推论求线段长度 (ⅰ)利用垂径定理及其推论求弦长 1．如图，在以为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点．若，则的长为 　 　． 2.如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为________．    3.如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为 ．          4.如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，的半径是，是的内接三角形，过圆心分别作，，的垂线，垂足为，，，连接．若，则 ． (ⅱ)利用垂径定理及其推论求弦心距 1.已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为 ． 2．如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ． 3．在半径为的中，弦，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 　 　． 4. 半径为5，弦，，，则与间的距离为（     ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 (ⅲ)利用垂径定理及其推论求弓高 1．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 (ⅳ)利用垂径定理及其推论求半径或直径 1．如图，在中，，则（    ）    A．1 B．2 C． D．4 2．如图，是的直径，弦，垂足为，若，，则直径为（　　） A．10 B．8 C．5 D．3 （Ⅱ）利用垂径定理及其推论求角度 1. 如图，在中，，则的度数为___________．    2.在半径为的中，弦的长分别为和，则的度数为________． （Ⅲ）利用垂径定理及其推论求弧长 1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2.《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）    A． B． C． D． （三）利用垂径定理及其推论解决求证问题 1.如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．    (1)求证：． (2)若，求的半径． 2.如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．    (1)求证：； (2)P是上一点，，求； (3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长． 3.已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 4.如图，都是的半径，．    (1)求证：； (2)若，求的半径． 5．如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．    (1)求证：点D为弧的中点； (2)若，，求的直径． （四）利用垂径定理及其推论求最值或取值范围问题 1. 如图，的半径为，弦，是弦上的一个动点，则的长度范围是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作，交于点D，则长的最大值为 ．    3.如图，矩形的顶点在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（    ）． A． B． C． D． 4.如图，、是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为