北京市广渠门中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

广渠门中学2023-2024学年12月月考 高三数学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，且，则可以（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面对应的点在虚轴上，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知为平面向量，若，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于A，B两点，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设，则满足的的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知圆过点，则圆心到原点距离的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥则在折叠过程中，不可能出现（ ） A. B. C. 三棱锥的体积为 D. 平面平面BCD 10. 设，数列中，，，则（ ） A. 当， B. 当， C. 当， D. 当， 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______． 12. 已知点是双曲线C：的一个顶点，则C的离心率为______． 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则______；面积为______． 14. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________． 15. 已知 （1）若有两个零点，则a取值范围是____________， （2）当时，则满足x的取值范围是____________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求单调递增区间； （3）存在，有，求m的取值范围． 17. 如图，在平行六面体中，底面是矩形，，． （1）求证：平面； （2）从下面三个条件中选出两个条件，使得平面， （ⅰ）并求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）求点B到平面的距离． 条件①平面平面；②平面平面；③ 18. 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于或小于时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度． 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 甲地 乙地 （1）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率； （2）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列； （3）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论） 19. 已知函数，． （1）求证：，恒成立； （2）若存在极值，求a的取值范围； （3）若时，成立，求a的取值范围． 20. 已知椭圆（）的离心率为，且点在椭圆上，设与平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴正半轴交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）判断的值是否为定值，并证明你的结论． 21. 设是由组成行列的数表（每个数恰好出现一次），且．若存在，，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表为一个“数表”为数表的一个“值”，对任意给定的，所有“数表”构成的集合记作． （1）判断下列数表是否是“数表”．若是，写出它的一个“值”； ， （2）求证：若数表是“数表”，则的“值”是唯一的； （3）在中随机选取一个数表，记的“值”为，求的数学期望． 广