陕西省商洛市2023-2024学年高三上学期第一次模拟检测理数试题

商洛市2024届高三第一次模拟检测 数学试卷（理科） 考生注意： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在△中，角的对边分别是，则=（ ） A. B. C. D. 5. 根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为 B. 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为 C. 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为 D. 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为 6. 将一个底面半径为3，高为4的圆柱形铁块熔化为铁水，恰好制成一个实心铁球，则该实心铁球的半径是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（ ） A B. C. D. 9. 在正四面体ABCD中，E，F 是棱BC，AB的中点，则异面直线 DE 与CF 所成角的余弦值是（ ） A B. C. D. 10. 已知函数在 上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 0 B. C. e D. 3 11. 已知是直线与函数图象的两个相邻交点，若，则（ ） A. 4 B. 4或8 C. 2 D. 2或10 12. 已知函数 ，若关于 的方程有3个实数解，且则的最小值是（ ） A 8 B. 11 C. 13 D. 16 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共20分. 13. 若向量、为单位向量，且 则向量与的夹角为________. 14. 的展开式中，含项的系数是______.（用数字作答） 15. 已知某比赛在六支队伍（包含甲、乙两支队伍）之间进行，假设这六支队伍的水平相当，则甲、乙这两支队伍都进入前3名的概率是______. 16. 过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，则的离心率为__________. 三、解答题：本题共6小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60分. 17. 在等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示. （1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数； （2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这 10 颗板栗中随机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为 X，求 X 的分布列与数学期望. 19. 如图，在三棱柱 中，平面 是等边三角形，且为棱的中点. （1）证明：； （2）若 ，求平面 与平面所成锐二面角余弦值. 20 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程， （2）证明：. 21. 已知点，动点M满足，动点的轨迹记为. （1）求的方程； （2）若不垂直于轴的直线过点，与交于两点（点在轴的上方），分别为在轴上的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （二）选考题：共 10分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是. （1）求曲线的极坐标方程； （2）已知直线，在第一象限内，直线与曲线交于点，与直线交于点，求的值. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若恒成立，求的取值范