4.1指数与指数函数（基础题型）-【题型分层练】2023-2024学年高一数学知识梳理与题型分层精练（基础题型+强化题型）（人教A版2019必修第一册）

专题4.1 指数与指数函数 知识梳理 1.n次方根 如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*。 可用下表表示: n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a=0 a<0 x= x=± x=0 不存在 2.根式 (1)式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数。 (2)性质:当n>1,n∈N*时, ①()n=a; ②= 3.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,n>1) 正分数指数幂 = 负分数指数幂 == 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 4.有理数指数幂的运算性质(a>0,b>0,r,s∈Q) (1)aras=ar+s;(2)(ar)s=ars;(3)(ab)r=arbr。 5.无理数指数幂的概念 一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的实数。这样,我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数。 6.实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂,即对于任意实数r,s,均有下面的运算性质。 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R)。 7.指数函数 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R。 8.指数型函数模型 形如y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)的函数是指数型函数模型。 9.指数函数的图象及性质 a>1 0<a<1 定义域 R (0,+∞) 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 在R上是增函数 在R上是减函数 10.不同底指数函数图象的相对位置 一般地,在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数大小有如下关系: (1)在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小。即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。这一性质可通过令x=1时,y的值等于底数去理解,如图。 (2)指数函数y=ax与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称。 例题精讲 n次方根的概念 化简二次根式的结果为　　 A． B． C． D． 若，则　　　　　． 若，则　　　　　　　． 已知，化简：　　　　　　　． 根式与分数指数幂的互化 设，，是正整数，且，则下列各式，，，正确的个数是　　 A．3 B．2 C．1 D．0 已知，化简　　 A． B． C． D． 下列式子的互化正确的是　　 A． B． C． D． 设，将表示成指数幂的形式，其结果是　　 A． B． C． D． 化简：　　　　　　　（用分数指数幂表示）． 计算　　　　　　． 下列根式与分数指数幂的互化正确的是　　 A． B． C． D． 有理数指数幂的运算 计算下列各式： （1）； （2）． 化简求值： （1）； （2）． （1）求值：； （2）已知，，化简：． （1）化简； （2）若，求的值． （1）化简求值：； （2）若，求的值． 化简求值： （1）； （2）若，求，的值． 指数函数的概念 函数是指数函数，则的值是　　 A．4 B．1或3 C．3 D．1 函数是指数函数，则的值是　　 A．， B． C． D． 下列函数中，不能化为指数函数的是　　 A． B． C． D． 如果函数和都是指数函数，则　　 A． B．1 C．9 D．8 若函数为指数函数，则　　　　　　　． 函数是指数函数，则的取值范围是　　 A．， B． C． D． 指数函数的图象经过点，则的值是　　　　　　　． 指数函数的实际应用 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的　　 A．18倍 B．24倍 C．36倍 D．48倍 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是　　 A．浮萍每月的增长率为2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第4个月时，浮萍面积不超过 D．若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则 某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种细菌由1个分裂成4096个需经过　　　　　　　小时． 某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线．其中是线段，曲线段是函数，，，是常数）的图象． （1）写出服药后每毫升血液中含药量关于时间的函数关系式