求圆锥曲线的离心率和离心率范围讲义-2024届高三数学二轮专题复习

离心率专题 【知识梳理】 1.离心率公式：() 椭圆: 双曲线: 2.求离心率的具体值的方法:求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的关系(只需找出其中两个的关系即可)，方法通常有两个方向: (1)利用几何性质: ①焦点三角形，两边与焦半径有关，另一边为焦距，利用三角形三边的关系求解;焦点三角形中内切圆相关的几何关系 ②题目条件中的几何关系，中点(中位线)，直角(勾股定理)，一般三角形中的正余弦定理(如椭圆中的焦点三角形，，，由正弦定理可得， ，故，，由可得， ) (2)设坐标建立坐标方程:当题目中的几何条件难以利用和发掘时，可考虑将点的坐标用表示，再利用条件列出等式求解. 3.求离心率的范围:也可以采取上述两种方法求解，下一步就是建立不等关系，下一步转化为关于的齐次不等式，最后求解不等式. 常见的建立不等关系的方式: (1)离心率固有的范围，椭圆: ; 双曲线: . (2)几何的不等关系， ①固有的不等关系，椭圆中(，在是顶点时取得最大值，焦点弦通径);双曲线中(假设在双曲线一支，或，渐近线的斜率);三角形中(两边之和大于第三边) ②题目中给出的条件的不等关系 (3)坐标的不等关系， ①固有的不等关系，椭圆中(焦点在轴，在椭圆上，则的坐标满足，);双曲线中(假设焦点在轴，在双曲线的右支上，则) ②题目中某点的横坐标或纵坐标是否有范围要求， (4)当题目中有一个核心变量时，则可以考虑离心率为某个变量的函数，从而求出该函数的值域. 【典型例题】 题型一 求椭圆的离心率 1．（2017·重庆·统考二模）已知椭圆：，点，，分别为椭圆的左顶点、上顶点、左焦点，若，则椭圆的离心率是 A． B． C． D． 2（2012·四川·高考真题）椭圆(为定值，且)的左焦点为，直线与椭圆交于两点，的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率为 ． 3．（2023下·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知梯形中，，若双曲线以A，D为焦点，且经过点B，C，若，则该双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 4（2022上·湖南张家界·高二统考期末）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽淮南·统考二模）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为T，延长交双曲线右支于P点，M为线段的中点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 6．（2022上·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为的直线与圆交于两点（点在轴上方），线段与椭圆交于点，延长线与椭圆交于点，且，则椭圆的离心率为 ，直线的斜率为 . 7．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 8．（2023·浙江杭州·统考二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则 ． 9．（2021上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）过双曲线：的右焦点，作直线交的两条渐近线于，两点，，均位于轴右侧，且满足，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 10（2012·贵州·高三阶段练习）如图，以AB为直径的圆有一内接梯形，且.若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为（ ）. A． B． C．2 D． 11．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知M为椭圆：上一点，，为左右焦点，设，，若，则离心率（    ） A． B． C． D． 12．（2023·重庆·统考一模）已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 13．已知，是双曲线(，)的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一、二象限的交点分别为，，若，则双曲线的离心率为______． 14．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 16．（2019下·浙江·高二校联考期末）已知为椭圆上任意一点，点，分别在直