专题03 函数的概念与性质-2023-2024学年高一数学高频考点一网打尽系列（期末复习专用）（人教A版2019必修第一册）

目 录 基础巩固篇 3.1函数的概念及其表示 3 3.2函数的基本性质 8 3.3幂函数 15 3.4函数的应用（一） 18 重难点突破篇 1.求抽象函数的定义域 21 2.求函数的值域. 22 3.复合函数的单调性问题. 23 4.函数性质的综合应用. 25 终极押题篇 1.函数的概念与性质押题卷 27 本章总结 基础巩固篇 3.1 函数的概念及其表示★★★★ Ⅰ考情分析 1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域,提升数学运算的核心素养. 2.理解区间的概念,并且能够利用区间表示集合. 3.通过求简单函数的定义域、值域,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 4.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(列表法、图象法、解析法)表示函数. 5.通过具体实例,理解分段函数的概念,提升数学抽象的核心素养. 6.会描绘分段函数图象,掌握分段函数的简单应用,提升直观想象和数学运算的核心素养. Ⅱ知识点总结 一、函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数. 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 注：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； . 二、函数定义域的求法 1.确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合。 三、函数的三种表示方法 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 四、分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 五、求函数解析式的3种常用方法 1.待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式 2.换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x) 3.解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 注：①分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． ②分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的． ③分段函数的图象要分段来画． ④分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． ⑤已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解． 题型训练 一、单选题 1．已知函数则（    ） A． B． C．35 D．53 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数若，则（    ） A．2 B．4 C． D．4或 4．函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．函数的图象如图所示，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．当时，只有唯一的与之对应 D． 6．设函数为一次函数，满足，则（    ） A． B． C． D． 7．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（    ） A． B．