10.2.3 含30°角的直角三角形的性质及反证法 练习课件2022-2023学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

含30°角的直角三角形的性质及反证法 第十章　三角形的有关证明 10.2.3 等腰三角形 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为(　　) A．1 B．2 C．2.5 D．3 1 2 【答案】 B 【点拨】 2 【真实情境题】【2023·贵州】5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是(　　) A．4 m B．6 m C．10 m D．12 m 【答案】 B 【点拨】 3 【2023·济南天桥区期末】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(　　) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3 【答案】 A 【点拨】 4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为(　　) A．1.5 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 【点拨】 ∵∠DBC＝60°，∠C＝90°， ∴∠BDC＝90°－60°＝30°.∴BD＝2BC＝2×1＝2. ∵∠ABD＝∠BDC－∠A＝30°－15°＝15°， ∴∠ABD＝∠A.∴AD＝BD＝2. 5 【2023·枣庄薛城区期中】用反证法证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角，假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，令∠A＞90°，∠B＞90°，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是(　　) A．已知 B．三角形内角和等于180° C．钝角三角形的定义 D．以上都不对 【答案】 B 【点拨】 假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，令∠A＞90°，∠B＞90°，则∠A＋∠B＞180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾． 6 D 【母题：教材P109随堂练习T2】用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(　　) A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60° 12 7 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，若DE＝2.5，则AB的长为(　　) A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】 D 【点拨】 8 【2023·滨州滨城区期末】如图，在△ABC中， ∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝6，则AD的长为(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．4.5 【答案】 D 【点拨】 9 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 C 【点拨】 10 【2023·淄博张店区期末】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4.求BC的长. 解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°. ∵AB⊥AD， ∴BD＝2AD＝2×4＝8，∠B＋∠ADB＝90°. ∴∠ADB＝60°. ∵∠ADB＝∠DAC＋∠C， ∴∠DAC＝30°.∴∠DAC＝∠C. ∴DC＝AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝8＋4＝12. 11 【情境题】【2022·长沙】为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20 m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°. (1)求该斜坡的高度BD． (2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．(假设图中C，A，D三点共线) 解：∵C，A，D三点共线，∠BAD＝30°，∠ACB＝15°， ∴∠ABC＝∠BAD－∠C＝15°. ∴∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝20m. 12 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4.已知点P在直线AB上，且∠PCB＝30°，求PC的长. 13 【学科素养 推理能力】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP＝ 2 cm/s，vQ＝1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t s. (1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ 解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°.∵60÷2＝30(