2023-2024学年沪科版九年级数学上册期末常考题型专练2

沪科版 数学9年级上册 常考题型专练 第2部分 (五)相似三角形模型 (六)相似三角形的判定与性质 (七)函数与相似综合 (八)数学文化与新定义型试题 (九)跨学科专项(二) 第1部分(另一份资料） (一)二次函数图象信息题 (二)跨学科专项(一) (三)反比例函数与一次函数的综合题 (四)关于函数的阅读理解题 (五)相似三角形模型 类型一　“A”字型 1.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为 (　　) A.9 cm　　B.12 cm　　C.15 cm　　D.18 cm 2.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米,点P从点O开始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动.当一点运动到终点时,另一点也随之停止.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0<t<6),求当△POQ与△AOB相似时,t的值. 类型二　“8”字型 3.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DC与BE相交于点O,且DO=2,BO=DC=6,OE=3.求证:△DOE∽△COB. 类型三　母子型 4.如图,在△ABC和△ACD中,∠BDC+∠ACB=180°. 求证:△ABC∽△ACD. 5.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E均在边BC上,AB2=BD·CE. (1)求证:∠EAD=∠B; (2)如果点F在边AB上,且EF∥AD,=,求证:△BAE∽△BCA. (六)相似三角形的判定与性质 类型一　利用相似三角形求线段的长 1.如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE. (1)求证:△ABC∽△AEB; (2)当AB=9,AC=6时,求AE的长. 类型二　利用相似三角形求角的度数 2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且满足AD2=CD·AC,若AD=BC,连接BD,求∠ABD的度数. 类型三　利用相似三角形证明等积式 3.如图,AD、BE是△ABC的两条高,过点D作DF⊥AB,垂足为F,FD交BE于点M,FD、AC的延长线交于点N. (1)求证:△BFM∽△NFA; (2)求证:DF2=FM·FN; (3)若AC=BC,DF=2,=,求BF的长. 类型四　利用相似三角形求线段的比 4.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做“比例三角形”. (1)如图①,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC,求证:△ABC是“比例三角形”; (2)如图②,在(1)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值. 　 (七)函数与相似综合 类型一　反比例函数与相似结合 1.如图,矩形OBCD的一个顶点与原点重合,两边分别在坐标轴上,反比例函数y=的图象与该矩形相交于E,F两点,以这两点为顶点作矩形CEAF,我们约定这个矩形CEAF为反比例函数y=的“相伴矩形”.已知点C的坐标为(8,6),BE=2. (1)求点F的坐标; (2)求证:“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似. 类型二　二次函数与相似结合 2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点D,E分别在边BC,AC上(点D不与端点B,C重合),并且满足∠ADE=∠B. (1)求证:△ABD∽△DCE; (2)设BD=x,CE=y,当x取何值时,y取最大值?y的最大值是多少? (3)当△ADE是等腰三角形时,求BD的长. 3.如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,顶点为点D,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)若M是抛物线上位于线段BC上方的一个动点,求△BCM的面积的最大值; (3)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点,点Q在射线ED上,若以P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似,请直接写出点P的坐标. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 (八)数学文化与新定义型试题 类型一　数学文化 1.清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》:今有一座古方城,四面正中都开门,南门直行八里止,脚下有座塔耸立.又出西门二里停,切城角恰见塔形,请问诸君能算者,方城每边长是几?诗的意思是有一座正方形的城池(如图),四面城墙的正中有门,从南门口(点D)直行8里有一塔(点A),自西门(点E)直行2里至点B,切城角(点C)也可以看见塔,则方城每面城墙的长是　　　里.  类型二　新定义型试题 2.我们给出定义:如果两个锐角的和为45°,那么称这两个角互为半余角,如图,在△ABC中,∠A,∠B互为半余角,且=,求∠A的正切值. 3.【新考法】(2023安徽合肥庐江期末)定义:若抛物线y=ax