2024年中考数学专题复习第四章 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线 课件

遇到角平分线如何添加辅助线 微专题 一阶 方法训练 方法解读 情形1　利用角平分线的性质“过角平分线上的点向角两边作垂线”构造全等三角形如图，点P是∠MON平分线上的一点． 【结论】AP＝BP，Rt△AOP≌Rt△BOP. 方法一　构造对称图形 方法解读 情形2　利用角平分线的性质截取“等线段”构造全等三角形如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB，则△OPA≌△OPB.可记为“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”． 例1　(北师八下P31例3改编)在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝4 cm，则AC的长为______________． 例1题图 (4＋4 )cm 例2题图 例2　如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ABC的面积是30，AC＝14，BC＝16，则点D到AC的距离为________． 2 例3 　 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠D＝ ∠B，AB＝4，BC＝2，则AD的长为________. 例3题图 一题多解法 6 方法解读 角平分线结合平行线推出等腰三角形 如图，点P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PQ∥OB.结论：△OPQ为等腰三角形．知二推一：①点P为∠AOB(或其外角)平分线上一点；②PQ∥OB；③△POQ为等腰三角形．知道其中任意两个条件，均可推出第三条结论． 方法二　作平行线 例4　 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，求 的值． 一题多解法 例4题图 解法一：解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E， 则∠ABD＝∠BDE， E ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠DBE，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，则CE＝6－x，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝2，∴CE＝4，∴ ＝ ＝ ＝2. 例4题图 E 解法二：解：如图，过点D作DF∥BC交AB于点F， ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBC，∴∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF，∵ ＝ ，即 ＝ ，解得AF＝1，∴BF＝2，∴ ＝ ＝ ＝2. 例4题图 F 二阶 综合训练 1. 如图，在▱ABCD中，BG，AG 分别平分∠ABC与∠BAD，GH⊥AB，GH＝5，则AD与BC之间的距离为________． 第1题图 10 解题关键点 过点G分别作BC，AD边的垂线． 第2题图 2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ADB的平分线DE交AB于点E. 若AD＝6，AB＝8，则BE的长为________． 5 【解析】如图，过点E作EF⊥BD于点F， ∵DE平分∠ADB，∴EF＝AE，∴BE＝AB－AE＝8－EF，在Rt△DAE和Rt△DFE中， ，∴Rt△DAE≌Rt△DFE(HL)，∴DF＝DA＝6， 在Rt△ABD中，由勾股定理得，DB＝ ＝10， ∴BF＝BD－DF＝10－6＝4，在Rt△BEF中， 有EF2＋BF2＝BE2，即EF2＋42＝(8－EF)2， 解得EF＝3，∴BE＝8－3＝5. ∟ F 解题关键点 过点E作EF⊥BD于点F，利用△DAE≌△DFE和勾股定理求解． 3. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E是BD的中点，若AB＝2BC，AD＝5，求CE的长． 第3题图 解：如图，延长BC至点F，使得CF＝BC，连接DF， F ∵AB＝2BC，∴BF＝BA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD，又∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDA(SAS)，∴DF＝DA＝5， ∵E为BD的中点，BC＝CF， ∴CE为△BDF的中位线，∴CE＝ DF＝ . 【解题思路】如解图，在AB上取一点G，使得BG＝BC，连接GE，易证△BCE≌△BGE，结合AB＝2BC，E为BD中点，得到G为AB中点，利用三角形中位线的性质求得EG的长，进而求得CE的长． 第3题解图 一题多解 4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E，F分别在AB，AC上，连接DE，DF，DE＝4，若∠BAC＋∠EDF＝180°，求DF的长． 第4题图 解：如图，在AB上截取AG＝AF， ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，在△