数列专题：数列求和的常用方法（6大题型）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第二册）

数列求和的常用方法 一、几种数列求和的常用方法 1、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 3、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 4、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 二、公式法求和常用公式 公式法主要适用于等差数列与等比数列. 1、等差数列的前n项和 2、等比数列的前n项和 3、一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 三、裂项相消法中常见的裂项技巧 1、等差型裂项 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 2、根式型裂项 （1） （2） （3） （4） 3、指数型裂项 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4、对数型裂项 四、错位相减法求和步骤 形如， 其中为等差数列，首项为，公差为；为等比数列，首项为，公比为. 对数列进行求和，首先列出，记为①式； 再把①式中所有项同乘等比数列的公比，即得，记为②式； 然后①②两式错开一位作差，从而得到的前项和。 注：等差数列的通项常见形式为 (其中A、B为常数)， 等比数列通项常见的形式为 (其中A、m为常数) 题型一 相加型分组求和 【例1】（2023·四川·高二达州市第一中学校校考阶段练习）已知递增等差数列满足，且、、成等比数列. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【变式1-1】（2023·吉林长春·高二校考期末）在数列中，， （1）证明：数列是等比数列. （2）求数列的前项和. 【变式1-2】（2023·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知数列满足，． （1）记，证明：是等比数列，并求的通顶公式； （2）求数列的前项和． 【变式1-3】（2023·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知数列为等差数列，公差为，；数列为各项均为正数的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前顶和 题型二 奇偶项分组求和 【例2】（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）在数列中，，，，则的前20项和（ ） A．621 B．622 C．1133 D．1134 【变式2-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列，且，则数列的前2024项之和为（ ） A．1012 B．2022 C．2024 D．4048 【变式2-2】（2023·上海·高二校考期中）已知数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列，求的前n项和． 【变式2-3】（2023·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 题型三 并项法求和 【例3】（2023·山东威海·高二威海市第一中学校考阶段练习）已知数列，，，则等于（ ） A．3027 B．3028 C．3034 D．3035 【变式3-1】（2023·福建漳州·高二华安县第一中学校考阶段练习）若数列的通项公式是，则 【变式3-2】（2023·河北·高三承德市双滦区实验中学校考阶段练习）已知数列满足，，记数列的前项和为，则 ． 【变式3-3】（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知数列，满足，，. （1）证明：为等差数列. （2）设数列的前项和为，求. 题型四 逆序相加法求和 【例4】（2023·全国·高二专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ） A．2022 B．4044 C．2023 D．4046 【变式4-1】（2023·江苏苏州·高二张家港市沙洲中学校考开学考试）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（ ） A． B．2017 C．4034 D．8068 【变式4-2】（2023·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）已知函数，则 ． 【变式4-3】（2023·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，