2023年九年级中考数学复习专题：二次函数动点等腰三角形与直角三角形存在性问题

专题：二次函数动点等腰三角形与直角三角形存在性问题 一、二次函数的存在性问题一——等腰三角形 方法说明 “两圆一线”定等腰三角形：将已知两点O、A连成线段，分别以线段两端点O、A为圆心、该线段OA长为半径画圆，则两圆与坐标轴的交点（M、N、P、Q）均符合题意（两圆圆心除外）；再作该线段的垂直平分线，该直线与坐标轴的交点（E、F）也符合题意。在二次函数中即“两圆一线”与函数图像的交点就是要求的点。两圆是把已知线段当做腰，一线是把已知线段当做底。 X y O P M N A E Q F 【例题】 1、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 2、如图．已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【练习】 1、如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. O C B A ⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符 合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标； （3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． 3、如图，已知直线y=x与抛物线交于A、B两点． （1）求交点A、B的坐标； （2）记一次函数y=x的函数值为y1，二次函数的函数值为y2．若y1＞y2，求x的取值范围； （3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标． 4、如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （1）求点A，B，C的坐标； （2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5、抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标． 二、二次函数的存在性问题一——直角三角形 方法说明 “两线一圆”定直角三角形：已知两点O、A连成线段，分别过线段两端点O、A作该线段OA的垂线，垂足分别为O、A，再以OA为直径以OA中点为圆心作圆，则圆与坐标轴的交点（Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ）均符合题意（两圆圆心除外）；两垂线与坐标轴的交点（Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ）也符合题意。在二次函数中即“两线一圆”与函数图像的交点就是要求的点。 X y O P M D A F Q C N E 【例题】 1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2、在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出点A，C，D的坐标； （2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标； （3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【练习】 1、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板