2024年中考数学专题复习第三部分 题型二 微专题5 半角模型 课件

微专题5 半角模型 微专题5　半角模型 (2023许昌模拟) 一阶 模型应用 模型分析 模型特点：共顶点，等线段解题方法：遇见半角作旋转证全等模型分类：①90°含45°；②120°含60°；③60°含30° 模型一　90°含45° ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°， 1. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF. 一题多解法 第1题图 方法一：证明：如图，延长CD至点G，使得DG＝BE，连接AG， G 在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠DAG＋∠FAD＝45°，即∠GAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG， 第1题图 G 在△AFE和△AFG中， ∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF. 第1题图 G 方法二：证明：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD边重合，得到△ADE′， ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∵∠BAE＝∠DAE′， ∴∠FAE′＝45°，∴∠FAE′＝∠FAE， 第1题图 E′ ∵∠ADE′＝∠ADF＝90°，AB＝AD， ∴∠ADE′＋∠ADF＝180°， ∴E′，D，F三点共线， 又∵AF＝AF，AE＝AE′， ∴△EAF≌△E′AF(SAS)， ∴EF＝E′F，∵E′F＝DF＋DE′，E′D＝BE， ∴EF＝BE＋DF. 第1题图 E′ 半角模型 满分技法 在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°. 辅助线作法：作法一：补短法：延长CD至点G，使得DG＝BE，连接AG.作法二：旋转法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，使AB与AD重合(需证明G，D，C三点共线)． 模型二　120°含60° 2. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，AF，EF，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，若BE＝3，DF＝5，求EF的长． 解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转120°，使AB与AD重合，得到△ADM， 第2题图 由旋转的性质，得∠ADM＝∠B＝90°， AE＝AM，∠BAE＝∠DAM.∵∠ADM＝∠ADF＝90°，∴∠ADM＋∠ADF＝180°，∴F，D，M三点共线， M ∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝60°＝∠DAM＋∠DAF，∴∠MAF＝60°＝∠EAF.在△EAF和△MAF中， ∴△EAF≌△MAF(SAS)，∴EF＝MF，∵BE＝3，DF＝5，∴EF＝FM＝DF＋DM＝DF＋BE＝8. 第2题图 M 半角模型 满分技法 如图，∠BDC＝120°，∠A＝60°，∠EDF＝60°，BD＝CD. 辅助线作法：将△BDE绕点D顺时针旋转120°得到△CDG，使BD与CD重合(需证明F，C，G三点共线)． 模型三　60°含30° 由旋转的性质可知：∠ACF＝∠ABD＝60°， ∠CAF＝∠BAD，AF＝AD，CF＝BD＝2.∵∠DAE＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠BAD＋∠CAE＝30°，∴∠CAF＋∠CAE＝30°， 3. 如图，在等边△ABC中，点D，E均在边BC上，点D在点E的左侧，∠DAE＝30°，若BD＝2，CE＝4，求DE的长． 第3题图 解：如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G. 第3题解图 如图，在等边△ABC中，∠DAE＝30°. 第3题解图 即∠EAF＝30°，∴∠EAF＝∠EAD. 在△DAE和△FAE中， ∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴ED＝EF.∵∠ACB＝∠ACF＝60°，∴∠FCG＝180°－∠ACB－∠ACF＝60°.∵FG⊥CG，∴CG＝FC·cos∠FCG＝1，FG＝FC·sin∠FCG＝ ，∴EG＝EC＋CG＝5，∴EF＝ ＝2 ，∴DE＝EF＝2 . 拓展研究：若第1，2题中AB≠AD或第3题中AB≠AC，以1～3题中的解题方法还能适用吗？怎么证明；请尝试一下． 半角模型 满分技法 如图，在等边△ABC中，∠DAE＝30°. 辅助线作法：将△ABD绕点A逆时针旋转60°，使AB和AC重合，得到△ACF. 如图，在等边△ABC中，∠DAE＝30°. 二阶 综合提升 1. 如图，在正方形ABCD中，M，N是边BC