北京市通州区潞河中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

2023北京通州潞河中学高三12月月考 数 学 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x| x(2－x)≥0}，则A∩B＝（ ） A．{1，2} B．{1，3} C．{2，3} D．{1，2，3} 2．若复数满足(其中i为虚数单位)，则复数为（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（ ） A． B．y＝ C．y＝－x2+1 D．y＝lg|x| 4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列是等差数列，是它的前项和，若，则（ ） A．24 B．20 C．16 D．10 6．已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 7．直线：与圆：位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 8．已知x∈(0，π)，则＝cos2x+2sinx的值域为（ ） A． B． C． D． 9．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图），在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟，那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（ ） A．1：2 B．：1 C．1： D．1： 10．在一个正方体中（右图），为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若，，，则，，按从大到小的顺序排列依次为 ． 12．若，则 ． 13．抛物线的准线方程是，则其标准方程是 ． 14．在平面直角坐标系中，已知，．若，，则实数的值为________． 15． 已知函数 （1）若，，则的值域是 ； （2）若恰有三个零点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题13分） 在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若，，△的面积为，求a，c的值． 17．（本小题14分） 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． 条件①：的最小值为－2； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：的图象经过点． （Ⅰ）确定的解析式； （Ⅱ）若函数在区间上的最小值为－2，求a的取值范围． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题15分） 如图1，在矩形中， ，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题14分） 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l的斜率为k(k≠0)时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本小题15分） 已知． （Ⅰ）若，求在处的切线方程； （Ⅱ）设，求的单调递增区间； （Ⅲ）证明：当时，，． 21．（本小题14分） 已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （Ⅰ）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值； （Ⅱ）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （Ⅲ）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中