专题02 一元二次函数、方程和不等式-2023-2024学年高一数学高频考点一网打尽系列（期末复习专用）（人教A版2019必修第一册）

目 录 基础巩固篇 2.1等式性质与不等式性质 3 2.2基本不等式 5 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 9 重难点突破篇 1.基本不等式中的恒成立问题 13 2.一元二次不等式中的恒成立问题. 14 终极押题篇 1.一元二次函数、方程和不等式押题卷 15 本章总结 基础巩固篇 2.1 等式性质与不等式性质★★ 一、考情分析 1.通过用不等式(组)表示实际问题,提升数学抽象与数学建模素养. 2.通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,提升逻辑推理、数学运算素养. 二、知识点总结 1.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质 ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，. 2.不等式的性质 ①基本性质有： (1) 对称性：； (2)传递性： (3)可加性：(c∈R)； (4)可乘性：a>b， ②运算性质有： (1)同向可加法则：(2)同向同正可乘法则： (3)可乘方性： 3.比较两代数式大小的方法 作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小. ①；②；③. 作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小. ①；②；③. 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）.经常选择0或1为中间量. 4.利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求． 题型训练 一、单选题 1．设，则（    ） A． B． C． D．P与Q的大小关系不确定 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知，，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知，则的取值范围是 ． 2.2 基本不等式★★★★ 一、考情分析 1.通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养. 2.通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养. 3.通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 二、知识点总结 ①重要不等式 ，有，当且仅当时，等号成立. ②基本不等式 如果，，则，当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注：应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. ③利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. ④与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有，当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有，当且仅当时，等号成立. （3）当时，有，当且仅当时，等号成立. ⑤利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 题型训练 一、单选题 1．若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 2．若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列