28.2　解直角三角形及其应用同步练习2023-2024学年人教版数学九年级下册

28.2　解直角三角形及其应用 28.2.1　解直角三角形 测试时间:15分钟 一、选择题 1.(2023陕西榆林子洲三模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6, cos B=,则AC的长为(　　) A.4.5　　　　B.5　　　　C.2 2. (2023江苏南通如皋期末)如图,在△ABC中,∠A=30°,tan B= ,则AB的长是(　　) A.4　　　　B.3+ 3.(2021山东淄博中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是斜边AB上的中线,过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC=4,△AEF的面积为5,则sin∠CEF的值为(　　) A. 4.(2023陕西西安碑林模拟)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°, AB=4,BC=6,对角线BD平分∠ABC,cos∠ABD=,则△BCD的面积为(　　) A.9　　　　B.12　　　　 C.15　　　　D.18 二、填空题 5.(2023黑龙江哈尔滨香坊三模)如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥CD,点E在AC上,连接DE,DE=AC,DE∥BC,CD=4,tan∠ABC=2,则边AB的长为　　　　.  6.(2021广东中考)如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=12,sin A=.过点D作DE⊥AB,垂足为E,则sin∠BCE=　　　　.  三、解答题 7.(2023浙江绍兴越城期中)如图,已知△ABC,AB=BC=5,tan∠ABC=. (1)求AC的长; (2)过点B作AC边上的高线BD,交AC边于点D,求BD的长. 8.(2022内蒙古呼和浩特中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,交线段CA的延长线于点E,连接BE. (1)求证:BD=CD; (2)若tan C=,BD=4,求AE的长. 答案全解全析 一、选择题 1.答案　C　∵cos B=.故选C. 2.答案　C　如图,过C作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=2CD=3,在Rt△BCD中,tan B=,∴BD=2,∴AB=AD+BD=3+2=5.故选C. 3.答案　A　如图,连接BF,∵CE是斜边AB上的中线,EF⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴S△AFE=S△BFE=5,AF=FB,∴S△AFB=10=AF·BC,∵BC=4,∴AF=BF=5.在Rt△BCF中,BC=4,BF=5,∴CF==3,∵∠BCF=∠FEB=90°,∴点C、B、E、F在同一个圆上,∴∠CEF=∠FBC,∴sin∠CEF=sin∠FBC=,故选A. 4.答案　A　如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E,∵对角线BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵cos∠ABD=,∴cos∠CBD=,∵∠A=90°,AB=4,cos∠ABD=,∴BD=5,∵cos∠CBD==3,∴S△BCD=BC·DE=×6×3=9.故选A. 二、填空题 5.答案　2 解析　如图,过点A作AF⊥BC于点F,∵DE∥BC,∴∠DEC=∠ACF, 在△DCE和△AFC中,∴△DCE≌△AFC(AAS),∴AF=CD=4, ∵tan∠ABC=2,∴. 6.答案　 解析　如图,过点B作BF⊥EC于点F,∵DE⊥AB,AD=5,sin A=,∴DE=4,由勾股定理得AE==3.在▱ABCD中,AD=BC=5,AB=CD=12,∴BE=AB-AE=12-3=9.∵CD∥AB,∴∠DEA=∠EDC=90°,∠CEB=∠DCE,∴tan∠CEB=tan∠DCE,∴,∴EF=3BF.在Rt△BEF中,根据勾股定理得EF2+BF2=BE2,∴(3BF)2+BF2=92,解得BF=,∴sin∠BCE=. 三、解答题 7.解析　(1)如图所示,过点A作AE⊥BC于点E, 由tan∠ABC=设AE=3k,则BE=4k, ∴AB=5k, ∵AB=BC=5, ∴k=1, ∴AE=3,BE=4, ∴EC=BC-BE=5-4=1, 在Rt△AEC中,AC=. (2)如图所示, ∵BD是AC边上的高,AE是BC边上的高, ∴S△ABC=BC·AE=AC·BD, ∴BD=. 8.解析　(1)证明:连接AD,如图所示, ∵AB为☉O的直径, ∴AD⊥BC, 又∵AB=AC, ∴△ABC为等腰三角形, ∴AD垂直平分BC, ∴BD=CD. (2)∵BD=CD,BD=4,∴CD=4, ∴tan C=,BC=2BD=8, ∴AD=2, 在Rt△ACD中,AC=, ∵AB为☉O的直径, ∴∠BEC=∠ADB=90°,∴∠ADC=∠BEC=90°,又∵∠C=∠C, ∴△ADC∽△BEC, ∴,即, ∴CE=, ∴AE=CE-AC=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 28.2　解直角三角形及其应用 28.2.2　应用举例 第1课时　仰角、俯