2024年中考数学专题复习第三部分 题型二 微专题6 对角互补模型 课件

微专题6 对角互补模型 一阶 模型应用 知识关联 SSA型全等条件是不能证明三角形全等的． 情况一：如图①，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E；若∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF. 图① 情况二：如图②，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E；若∠C不等于∠F，则△ABC与△DEF不全等，两个三角形能拼成等腰△ABE. 图② 模型分析 模型特点：如图，∠ABC＋∠ADC＝180°，且∠ABC＝∠ADC＝90°. 辅助线作法：过点D分别作AB，BC的垂线 结论：△DCF∽△DAE 当AD＝CD时，辅助线也可以用如下方法：将BD绕点D逆时针旋转与∠ADC相同的度数得到线段ED 结论： ①△ABD≌△CED；②AB＋BC＝ BD 1. 如图，∠MAN＝90°，点B是∠MAN内一点，且到AM，AN的距离相等．过点B作射线BC交AM于点C，将射线BC绕点B逆时针旋转90°，交AN于点D. (1)求证：BC＝BD； ∵∠MAN＝∠CBD＝90°，∴∠ACB＋∠ADB＝180°.∵∠ACB＋∠BCE＝180°，∴∠BCE＝∠ADB. ∵BE⊥AM，BF⊥AN，∴∠BEC＝∠BFD＝90° ∴△BEC≌△BFD(AAS)，∴BC＝BD； (1)证明：如图，过点B分别作BE⊥AM于点E，BF⊥AN于点F，则BE＝BF. 第1题图 ∟ F ∟ E ∴∠ABG＝∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠GBD.∵∠ACB＋∠ADB＝180°，∠ADB＋∠GDB＝180°， ∴∠ACB＝∠GDB. ∵BC＝BD，∴△ABC≌△GBD(ASA)， ∴AB＝BG，AC＝DG， (2)连接AB，用等式表示AB，AC，AD之间的数量关系，并证明． 第1题解图 第1题图 (2)解：AC＋AD＝ AB.证明：如解图，将AB绕点B逆时针旋转90°，交AN于点G， ∵点B到∠MAN的两边AM，AN的距离相等， ∴AB是∠MAN的平分线， ∴∠BAG＝ ∠MAN＝45°， ∴AG＝ AB， ∴AC＋AD＝DG＋AD＝AG＝ AB. 第1题解图 在Rt△ABC中，∠C＝60°，BD⊥AC， ∴∠DBC＝30°， ∴ ＝tan∠DBC＝ . ∵∠ABC＝90°， ∴四边形GBHD为矩形， ∴GD＝BH，∴ ＝ . 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，BD⊥AC于点D，以D为顶点作∠EDF＝90°，分别交AB，BC于点E，F，求 的值． 解：如图，过点D分别作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H， ∟ H ∟ G 第2题图 ∵∠EDF＝∠ABC＝90°， ∴∠BED＋∠BFD＝180°.∵∠BFD＋∠DFH＝180°， ∴∠DEG＝∠DFH，∴△DEG∽△DFH， ∴ ＝ ＝ . ∟ H ∟ G 第2题图 二阶 综合提升 1. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，连接BD.若BC＝2，AB＝5，求BD的长． 由旋转的性质可得，BD＝DP，∠BDP＝90°.∵∠BDC＋∠BDA＝90°，∠BDA＋∠ADP＝90°，∴∠BDC＝∠ADP. 解：如图，将BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DP，连接AP， 第1题图 P 在△CDB和△ADP中， ∴△CDB≌△ADP(SAS)，∴∠PAD＝∠BCD，AP＝CB.又∵∠BCD＋∠BAD＝180°，∴∠PAD＋∠BAD＝180°，∴P，A，B三点共线．又∵∠BDP＝90°，DB＝DP，∴BP＝ DB，∴AP＋AB＝CB＋AB＝7＝ DB.∴DB＝ . 第1题图 P 解题关键点 将DB绕点D顺时针旋转90°得到DP，连接AP，证得△CDB≌△ADP，△BDP为等腰直角三角形． ∵四边形ABCD是矩形，PM⊥AD，PN⊥AB， ∴四边形PMAN为矩形，∴∠MPN＝90°，∵∠DPE＝90°， ∴∠DPM＋∠MPE＝∠MPE＋∠EPN，∴∠DPM＝∠EPN，∴△DPM∽△EPN， 2. 如图，在矩形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，已知AB＝4 ，AD＝4.若DP＝3 ，求PE的长． 解：如图，过点P分别作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N， ∟ ∟ N M 第2题图 ∴ ＝ ＝ ，∵PN∥BC，AB＝4 ，AD＝BC＝4，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，∵DP＝3 ，∴PE＝3. ∟ ∟ N M 第2题图 3. 如图，在正方形ABCD中，∠EPF的顶点P在对角线AC上，且∠EPF＝90°，AP＝ AC，将∠