2024年中考数学专题复习 微专题12 构造直角三角形解决根号2、根号3倍的线段数量关系 课件

微专题12 构造直角三角形解决 、 倍的线段数量关系 一、解决 倍的线段数量关系 一阶 方法训练 1. 已知线段AB与射线AM交于点A，且夹角是45°.(1)如图①，请在射线AM上找到一点C，使得AC＝ ； 第1题图① 解：(1)作图如图，过点B作AB的垂线， 交射线AM于点C，此时AC＝ ； C ∟ (2)如图②，请在射线AM上找到一点D，使得AD＝ . 第1题图② D (2)作图如图， 过点B作射线AM的垂线，交射线AM于点D， 此时AD＝ . ∟ 辅助线作法：①不含分式时， 在谁那里，谁就是直角边；②含分式时，分式在谁那里，谁就是斜边，要找的点就是直角顶点． 满分技法 2. 已知线段AB与射线AM交于点A，且夹角是30°.(1)如图①，请在射线AM上找到一点C，使得BC＝ ； 第2题图① 解：(1)作图如图，过点B作射线AM的垂线，交射线AM于点C，此时BC＝ ； C 二、解决 、 倍的线段数量关系 ∟ (2)如图②，请在射线AM上找到一点D，使得BD＝ . 第2题图② D (2)作图如图，过点B作AB的垂线，交射线AM于点D， 此时BD＝ . ∟ 辅助线作法：① 在谁那里，谁就是斜边，要找的点就是直角顶点；② 在谁那里，谁就是长直角边，等号两边相同的字母就是直角顶点． 满分技法 ∵AB＝BC，∠A＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，∴∠DEB＋∠FEG＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°，∴∠FEG＝∠BDE， 二阶 方法拓展 1. 如图，在△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，若∠A＝45°，试猜想CF与BE之间的数量关系，并说明理由． 一题多解法 第1题图 解法一：解：CF＝ . 理由如下：如图，过点F作FG⊥BC于点G， G ∟ 在△FEG和△EDB中， ∠FGE＝∠B ∠FEG＝∠EDB, EF＝DE ∴△FEG≌△EDB(AAS)，∴FG＝EB，在Rt△FGC中，∠FGC＝90°，∠C＝45°，∴CF＝ FG，∴CF＝ BE. 第1题图 G ∟ 解法二：解：CF＝ . 理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向下作等腰Rt△BEG. G 第1题图 ∵AB＝BC，∠A＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠ABC＝90°，∠C＝∠A＝45°，∴∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，∴∠FEC＝∠EDG.∵△BEG是等腰直角三角形，∴∠G＝45°＝∠C，GE＝ ，∠EBG＝∠ABC＝90°，∴D、B、G三点共线． 在△DEG和△EFC中， ∠EDG＝∠FEC ∠G＝∠C, DE＝EF ∴△DEG≌△EFC(AAS)，∴CF＝GE＝ . G 第1题图 解法三：解：CF＝ .理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向上作等腰Rt△BEG，同时以点F为直角顶点，FC为直角边向下作等腰Rt△CFH. 第1题图 G H ∵AB＝BC，∠A＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，∴∠DEB＋∠FEH＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，∴∠FEH＝∠EDG. ∵△BEG和△CFH都是等腰直角三角形，∴∠BGE＝∠CHF＝45°，EG＝ ，FH＝CF，∴∠DGE＝∠EHF＝135°.在△DEG和△EFH中， ∠DGE＝∠EHF ∠EDG＝∠FEH, DE＝EF ∴△DEG≌△EFH(AAS)，∴EG＝FH，∴CF＝EG＝ . G H 第1题图 变式题 将等腰直角三角形变为含30°的直角三角形 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝90°，若∠A＝30°，试猜想CF与BE之间的数量关系，并说明理由． 一题多解法 变式题图 解法一：解：BE＝ . 理由如下：如图，过点F作FG⊥BC于点G， ∵∠A＝30°，∴∠C＝90°－∠A＝60°，∴在Rt△FG