1.4 角平分线 课件 2023-—2024学年北师大版数学八年级下册

4 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 北师版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 新课导入 什么叫角平分线？ 如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线. 你还记得角平分线上的点有什么性质吗？ 新课探究 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. O A B C 1 2 P D E 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∵ ∠1 =∠2，OP = OP， ∴△PDO ≌△PEO（AAS）. ∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）. O A B C 1 2 P D E 练习 如图，OP 平分∠AOB，PC ⊥ OA，PD ⊥ OB，垂足分别是 C、D. 下列结论中错误的是（ ） A. PC = PD B. OC = OD C. ∠CPO =∠DPO D. OC = PO D 想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． 　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，且 PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 为垂足且 PD = PE. 求证：OP 平分∠AOB. O A B C 1 2 P D E 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∵ PD = PE， OP = OP， ∴Rt△DOP ≌ Rt△EOP（HL）. ∴∠1 =∠2（全等三角形对应角相等）. ∴OP 平分∠AOB. O A B C 1 2 P D E 例 1 在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长. A B C D E F A B C D E F 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF， ∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°. ∴在 Rt△ADE 中， ∠AED = 90°，AD = 10， ∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 1 2 1 2 10 练习 判断下列推理是否正确 A B C D E F P （1）如图，∵AD 平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PE = PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. √ A B C D E F P （2）如图，∵ PE = PF， ∴ AD 平分∠BAC （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）. × A B C D E F P （3）如图，∵ 点 P 在∠BAC 的平分线上， ∴ PE = PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. × （4）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC， ∴ AD 平分∠BAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）. A B C D E F P × A B C D E F P （5）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PE = PF， ∴点 P 在∠BAC 的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）. √ 随堂演练 1. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，则下列四个结论： ①AD 上任意一点到点 C、点 B 的距离相等；②AD 上任意一点到 AB，AC 的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF. 其中，正确的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 2. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. 证明