1.3 线段的垂直平分线 课件 2023-—2024学年北师大版数学八年级下册

3 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的的性质与判定 北师版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 新课导入 作线段 AB 的中垂线 MN，垂足为 C；在 MN上任取一点 P，连结 PA、PB； 量一量 PA、PB 的长，你能发现什么？ A B M N C P 新课探究 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点. 求证：PA = PB. A B C M N P A B C M N P 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB = 90°. ∵ AC = BC，PC = PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）. ∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）. 判断：如图直线 MN 垂直平分线段 AB ，则 AE = AF.（ ） 练习 A B M N F E × 想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA = PB．求证：P 点在 AB 的垂直平分线上． A B C P 证明一：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC， PA = PB， PC = PC， ∴Rt△PAC ≌Rt△PBC（HL）． ∴AC = BC， 即 P 点在 AB 的垂直平分线上． A B C P 证法二：取 AB 的中点 C，过 P，C 作直线. ∵AP = BP，PC = PC. AC = CB， ∴△APC ≌△BPC（SSS）. ∴∠PCA =∠PCB（全等三角形的对应角相等）. 又∵∠PCA +∠PCB = 180°， ∴∠PCA =∠PCB =∠90°，即 PC⊥AB. ∴ P 点在 AB 的垂直平分线上. A B C P 证法三：过 P 点作∠APB 的角平分线交 AB 于点 C. ∵AP = BP，∠APC =∠BPC，PC = PC， ∴△APC ≌△BPC（SAS）. ∴AC = BC，∠PCA =∠PCB 又∵∠PCA +∠PCB = 180° ∴∠PCA =∠PCB = 90° ∴ P 点在线段 AB 的垂直平分线上. A B C P 例 1 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. A B C O A B C O 证明：∵ AB = AC. ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. ∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. 已知：如图，D 是 BC 延长线上的一点，BD = BC + AC. 求证：点 C 在 AD 的垂直平分线上. 练习 A B C D 证明：因为点 D 在 BC 延长线上， 所以 BD = BC + CD， 又因为 BD = BC + AC， ∴ AC = DC， 所以点 C 在 AD 的垂直平分线上. A B C D 随堂演练 　　 1. 如图，在△ABC 中，BC = 8，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 与 E，则△ADE 的周长等于______. 8 A B C D E 　 2. 到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ） A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三边高线的交点 D.没有这样的点 B 3. 在△ABC 中，AB 的中垂线与 AC 边所在直线相交所得的锐角为 50°，则∠A 的度数为（ ） A. 50° B. 40° C. 40°或140° D. 40°或50° C 17 4. 已知：如图，在△ABC 中，边 AB、BC 的垂直平分线交于 P. 求证：点 P 在 AC的垂直平分线上. B A C M N M′ N′ P B A C M N M′ N′ P 证明： ∵点 P 在线段 AB 的垂直平分