1.2 直角三角形课件2023-2024学年 北师大版数学八年级下册

2 直角三角形 第1课时 勾股定理及其逆定理 北师版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 新课导入 我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法?与同伴交流. A B C 想一想 新课探究 (1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么? (2)如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗?为什么? 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. A B C ∵∠B = 90 , ∴∠A +∠C = 90 . 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. b b a a S = a2 + b2 a c b a c b 小正方形的面积= (a – b)2 即 c2 = a2 + b2. = c2 – 4 ab 勾股定理的证明: D E F G H I A B C a b c 如图,在 ABC 中,∠C = 90 ,BC = a, AC = b,AB = c. 分别以 Rt ABC 的三边为边长作正方形AHIB,ACDE,CBFG. 连接 EB,CH. E F G M N H I A B C a b c 过点 C 作 AB 的垂线,分别交 AB 和 HI 于点 M,N. D E F G M N H I A B C a b c ∵EA = CA, ∠EAB =∠CAH, AB = AH, ∴ EAB ≌ CAH(SAS). D E F G M N H I A B C a b c 又∵S正方形 ACDE= 2S EAB, S长方形AHNM = 2S CAH, ∴b2 = S长方形AHNM. 同理 a2 = S长方形MNIB. ∴ c2 = a2 + b2. D 练习 如图,图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形 A,B,C,D 的边长分别是 12,16,9,12,求最大正方形 E 的面积. 解:根据图形正方形 E 的边长为: 故 E 的面积为:252 = 625. 反过来,在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗? 已知:如图,在 ABC 中,AB2 + AC2 = BC2. 求证: ABC 是直角三角形. A B C 证明:如图作 Rt A'B'C', A' B' C' 使∠A' = 90 ,A'B' = AB,A’C' = AC, 则 A'B'2 + A'C'2 = B'C'2(勾股定理) ∵AB2 + AC2 = BC2, ∴BC2 = B'C'2. ∴BC = B'C'. ∴ ABC ≌ A'B'C'(SSS). ∴∠A =∠A' = 90 . 因此, ABC 是直角三角形. A B C 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形. (1)a = 2,b = 3,c = 4. ( ) (2)a = 9,b = 7,c = 12. ( ) (3)a = 25,b = 20,c = 15. ( ) √ 练习 议一议 观察上面两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 上面两个定理的条件和结论互换了位置,即勾股定理的条件是第二个定理的结论,结论是第二个定理的条件. 再观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等; 如果两个角相等,那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧; 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等; 一个三角形中相等的角所对的边相等. 在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 想一想 你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗? 逆命题:如果两个有理数的平方相等,那么这两个有理数相等. 原命题是真命题,逆命题是假命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 随堂演练 1. 在 Rt ABC 中,∠C = 90 . (1)已知 c = 25,b = 15,求 a; (2)已知 a = ,∠A = 60 ,求 b,c. 2. 已知直角三角形的两边长分别为 3,2,求另一条边长. 解:当斜边的长为 3 时,另一条边长 当两条直角边长分别为 3、2时,斜边长 3. 说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假: (1)四边形是多边形; (2)两直线平行,同旁内角互补; (3)如果 ab = 0,那么 a = 0,b = 0. 解:(1)多边形是四边形.原命题是真,逆命题是假.(2)同旁内角