1. 6 完全平方公式 课件2023-2024学年 北师大版数学七年级下册

6 .完全平方公式 第1课时 完全平方公式的认识 北师版七年级数学下册 第一章 整式的乘除 新课导入 观察下列算式及其运算结果, 你有什么发现? (m + 3)2 = (m + 3) (m + 3) = m2 + 3m + 3m + 9 = m2+ 2 3m + 9 = m2 + 6m + 9 (2 + 3x)2 = (2 + 3x) (2 + 3x) = 22 + 2 3x + 2 3x + 9x2 = 4 + 2 2 3x + 9x2 = 4 + 12x + 9x2. 新课探究 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 两个数的和的平方,等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍. 用自己的语言叙述这一公式! 再举两例验证你的发现. (1)(2x + y)2 ; (2)(3a – 2b)2 . (1)(2x + y)2 =(2x + y)(2x + y) = 2x 2x + 2x y + y 2x + y y = 4x2 + 4xy + y2 (2)(3a – 2b)2 =(3a – 2b) (3a – 2b) = 3a 3a – 3a 2b – 2b 3a + 2b 2b = 9a2 – 12ab + 4b2 想一想 你能用图解释这一公式吗? b a b a b a b a = + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 议一议 (a – b)2 = ?你是怎样做的? (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 1 (a – b)2 = [a+(– b)]2 = a2 +2a(– b)+(– b)2 = a2 – 2ab + b2 2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 用自己的语言叙述这一公式! 两个数的差的平方,等于这两个数的平方和减这两个数乘积的 2 倍. b a b a (a – b)2 a2 ab ab b2 = – + (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 做一做 你能自己设计一个图形解释这一公式吗? (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 上面两个公式称为完全平方公式. 例 1 利用完全平方公式计算: (1)(2x – 3)2; (2)(4x + 5y)2; (3)(mn – a)2 解:(1) (2x – 3)2 = (2x)2 – 2 2x 3 + 32 = 4x2 – 12x + 9 (2)(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2 4x 5y + (5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2 (3) (mn – a)2 = (mn)2 – 2 mn a + a2 = m2n2 – 2amn + a2 练习 利用完全平方公式计算: (1) (3x + 1)2 ; (2) (a - 3b)2 ; (3) (2x + )2 ; (4) (– 2x + 3y)2 . 解 (1) (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1; (2) (a - 3b)2 = a2 - 6ab + 9b2; (3) (2x + )2 = 4x2 + 2xy + y2; (4) (– 2x + 3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2. 读一读 如果将 (a + b)n(n 为非负整数)的每一项按字母 a 的次数由大到小排列,就可以得到下面的等式: (a + b)0 = 1,它只有一项,系数为 1; (a + b)1 = a + b,它有两项,系数分别是 1, 1; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,它有三项,系数分别是 1, 2, 1; (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,它有四项,系数分别是 1, 3, 3, 1. 如果将上述每个式子的各项系数排成下表, 那么你能发现什么规律? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 按照这个规律可以继续将这个表写下去: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 杨辉三角 随堂演练 1. 计算. (1)( x – 2y)2 = x2 –2xy + 4y2 (2)(2xy+ x)2 = 4x2y2 + x2y + x2 (3)(n + 1)2 – n2 = n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1 解 (2x + 1)(x – 2) – (x – 1)2 + 5 = 2x2 – 4x + x – 2 – x2 + 2x – 1 + 5 = x2 – x + 2 当 x = – 5 时, 上式= (– 5)2 – (– 5) + 2 = 25 + 5 + 2 =