4.3.1等比数列的概念第1课时(等比数列的概念、通项公式)课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3 等比数列 我们知道,等差数列的特征是“从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”,类比等差数列的研究思路和方法,从运算的角度出发,你觉得还有怎样的数列是值得研究的? 4.3.1 等比数列的概念 第一课时 (等比数列的概念、通项公式) 一、探究新知 请看下面几个问题中的数列. 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: ①9,92,93,…,910 ②100,1002,1003,…,10010 ③5,52,53,…, 510 古巴比伦人用60进制记数,这里转化为十进制. 3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次 分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是: 2,4,8,16,32,64… 4.某人存入银行a元,存期为5年,年利率为r,那么按照复利,他5年内每年末得到的本利和分别是a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5. 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算.作本金,再计算下一期的利息. 2.《庄子.天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”,那么从第1天开始, 各天得到的“棰”的长度依次是: 一、探究新知 类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律?你发现了什么规律? 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律. 如果用{an}表示数列①: 9,92,93,…,910,那么有 这表明,数列①有这样的取值规律: 从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于9. 其余几个数列也有这样的取值规律,请你写出相应的规律. 类比等差数列的概念,从上述几个数列的规律中,你能抽象出等比数列的概念吗? 二、等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然 q≠0). 问题1、2、3、4中的数列的公比各为多少? 注意 (1)公比q是由后项除以前项所得,不能用前项除以后项来求. (2)对于数列{an},若 (q是与n无关的数或字母),n≥2, 则此数列是等比数列,q为公比. 二、等比数列的概念 (1)等比数列中有为0的项吗? (2)公比为1的数列是什么数列? (3)既是等差数列又是等比数列的数列存在吗? (4)常数列都是等比数列吗? 三、等比中项 由三个数a、G、b组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列. 这时,G叫做a与b的等比中项. 在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项. 如果G是a与b的等比中项,则a、b的符号有什么特点?你能用a、b表示G吗? a、b同号, G2=ab 四、等比数列的通项公式 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 所以 a2=a1q, a3=a2q=(a1q)q=a1q2, a4=a3q=(a1q2)q=a1q3, 由此可得 an=a1qn-1(n≥2). 当n=1时,上式为a1=a1q1-1=a1. 这就是说,上式当n=1时也成立. 设一个等比数列{an}的首项为a1,公比为q.根据等比数列的定 义,可得 即an+1=anq, 首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为 四、等比数列的通项公式 an=a1qn-1 类似于等差数列与一次函数的关系,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关? 由 可知,当q>0且 q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数 (x∈R)当x=n时的函数值,即 an=f(n)(如右图所示). 反之,任给指数函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2, …,f(n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为ka,公比为a. 五、等比数列的单调性 类比指数函数的性质,说说 公比q>0的等比数列的单调性. q>1 0<q<1 q=1 递增 递减 常数列 递增 递减 常数列 a1<0 a1>0 公比q>0且q≠1的 等比数列{an}的图象有 什么特点? 六、典型例题 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项. 解法1: 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 六、典型例题 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项. 解法2: 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 六、典型例题 例2 已知等比数列{an}的公比为q,试用{an}的第m项am表示an. 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五