2024年中考数学高频考点突破——二次函数与四边形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与四边形 1．如图1，四边形中，，，我们就把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． （1）根据筝形的定义，下列图形中是筝形的有　 　（填写序号）； ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形． （2）如图2，若四边形的内角满足，连接，交于点，且平分， ①求证：四边形是菱形； ②若四边形的面积为，求四边形的周长； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为．在轴上任取一点，以为对角线作筝形，满足，且轴．在轴上取几个不同位置的点，得到相应的点，发现这些点在一条曲线上．若点，，是上述曲线上的三个不同的点，它们的横坐标分别为，，，其中，求的最大值． 2．如图①，在四边形中，若，且，则称四边形为“完美筝形”. （1）下列四边形中，一定是“完美筝形”的是____. A．正方形 B．对角线夹角是60°的矩形 C．菱形 D．有一个内角是60°的菱形 （2）如图②，在“完美筝形”中，，且，E，F分别是，上的点，且，求证：； （3）如图③，在菱形中，，，E，F分别是，上的动点（与A，B，D都不重合），且，若是的中点，连接，则的取值范围是　 　. 3．有这样一类特殊边角特征的四边形，它们有“一组邻边相等且对角互补”，我们称之为“等对补四边形”． （1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于点E，若AE＝4，则四边形ABCD的面积等于　 　． （2）等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角，即如图2，四边形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，连接BD，求证：BD平分∠ABC． （3）现准备在某地著名风景区开发一片国家稀有动物核心保护区，保护区的规划图如图3所示，该地规划部门要求：四边形ABCD是一个“等对补四边形”，满足AD＝DC，AB+AD＝12，∠BAD＝120°，因地势原因，要求3≤AD≤6，求该区域四边形ABCD面积的最大值． 4．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为． （1）求关于的函数表达式； （2）当取何值时，四边形的面积为10？ （3）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 5．有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”． （1）如图1，BD平分，，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”； （2）如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于，两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值； （3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC，求a的值． 6．四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线． （1）如图1，四边形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形ABCD的相似对角线； （2）如图2，直线分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y＝（k＜0）上的点，若AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式； （3）如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为（3，1），AC∥x轴，∠BCA＝∠DCA＝30°，连接BD，△BCD的面积为．过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于E，F两点，记|m|＝AC+1，若直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值． 7．如图，在四边形ABCD中，，，，，，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连结PA，过P作交CD所在直线于E． （1）请找出一对相似三角形，并说明理由； （2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围． 8．如图，点分别在菱形的四条边上（不在端点），且满足，连接，得到四边形． （1）求证：四边形是矩形； （2）设菱形边长为，，当为何值时，矩形面积最大，最大值为多少？ 9．如图，直线的图像与x轴，y轴分别交于点B，A，点B与点C关于原点对称，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点D. （1）求点C的坐标及反比例函数的解析式； （2）动点M从点A到点D，动点N从点C到点A，都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？ 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A