2024年九年级中考数学高频考点突破——垂径定理

2024年中考数学高频考点突破——垂径定理 1．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽cm，水最深4cm． （1）求圆的半径． （2）求阴影部分的面积． 2．如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC. （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）设AD＝4，AB＝x (x > 0)，BC＝y (y > 0). 求y关于x的函数解析式. 3．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC于点H，点D在优弧BC上 （1）若∠AOB=50°，求∠ADC的度数； （2）若BC=8，AH=2，求⊙O的半径. 4．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠BAC＝120°、OA⊥BC、若AB＝4. （1）求证：四边形OACD为菱形. （2）求AD的长. 5．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米， 即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 6．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F． （1）若点E是弧BD的中点，求∠F的度数； （2）求证：BE=2OC； （3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？ 7．如图，⊙O的直径AB=12cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD． （1）求证：点P为 的中点； （2）若∠C=∠D，求四边形BCPD的面积． 8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长． 9．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧 上一点，连接BD，AD，OC，∠ ADB＝30°. （1）求∠AOC的度数； （2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积. 10．如图，为的直径，弦于点E，点F为圆上一点，，过点C作交于点G，交于点H. （1）求证：. （2）若，，求. 11．图，在中，AB＝AC，⊙O是的外接圆，点D在⊙O上且∠BCD＝∠ACB，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF. （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若点G是的内心，，求BG的长. 12．如图，⊙O的半径OA＝4，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC＝∠OAB. （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AC＝2，求AB的长； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积. 13．如图，已知AB是 的直径， ，CD切圆 于点D，连 ，BD， 与BD交于点 . （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的值. 14．如图， 为 的直径， 是 的弦， 是弧 的中点，弦 于点 ，交 于点 ，过点 作 的切线，交 延长线于点 ，连接 . （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长. 15．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－ x－ 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F． （1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长； （2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP： PH＝3 ： 2，求cos∠QHC的值； （3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由． 16．如图，AB是⊙O的直径，点C是 的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且 ，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）当OB＝2时，求BH的长． 17．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：这样的点A唯一吗？点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），….小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）. （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决. ①该弧所在圆的半径长为　 　； ②面积的最大值为　 　； （2）经过比对发现，小明同学所画的