5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（1）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）高一数学必修第一册课时同步学案 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质（1） 【知识梳理】 【知识点一】周期函数 (1)定义：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 ①定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．②正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π. 【知识点二】正弦函数、余弦函数的周期 (1)函数y＝sinx与y＝cosx的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0)．最小正周期为2π. (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝. 【知识点三】正弦函数与余弦函数的奇偶性 (1)对于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称． 【例题探究】 【类型一】求三角函数的周期 【例1】求下列函数的最小正周期： (1)y＝sin(x∈R)； (2)y＝|sinx|(x∈R)． 【方法归纳】三角函数周期的主要求法： 方法一：定义法，利用fx＋T＝fx； 方法二：公式法，对于y＝Asinωx＋φ或y＝Acosωx＋φA，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0，周期； 方法三：图象法，作出函数图象，通过观察图象得到周期. 【变式训练1】(1)下列函数中，最小正周期为π的函数为(　 　) A．y＝sin　　　 B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos (2)若函数是以2为周期的函数，且f(3)＝6，则f(5)＝ . 类型二　　三角函数奇偶性的有关问题 【例2】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin2x； (2)f(x)＝sin； (3)f(x)＝sin|x|； (4)f(x)＝＋. 【方法归纳】判断函数奇偶性的常用方法： 1定义法，即从f－x的解析式中拼凑出fx的解析式，再看f－x＝－fx或f－x＝fx是否成立. 2图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性. 3验证法，即验证f－x＋fx＝0或f－x－fx＝0是否成立. 【变式训练2】函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　 　) A．0 B. C. D．π 【例3】函数y＝sin的对称轴是________，对称中心是________． 【变式训练3】下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　D　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 【类型三】函数周期性与奇偶性的应用 【例4】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称． (1)证明：f(x)是周期函数； (2)若当x∈[－2,2]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[－6，－2]时，f(x)的解析式． 【方法归纳】 1．解决函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题． 2．推得函数周期的若干形式： (1)若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t； (2)若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t； (3)若f(x＋t)＝，则函数周期为2t； (4)若f(x＋t)＝－，则函数周期为2t. 【变式训练4】定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f 等于(　 　) A．－　　　　　　　　　　 B. C．－ D. 【课堂练习】 1．函数y＝3sin的最小正周期是(　 　) A．4π　　　　B．2π　　　　C．π　　　　D. 2．下列函数中是偶函数的是(　 　) A．y＝sin2x B．y＝－sinx C．y＝sin|x| D．y＝sinx＋1 3．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　 　) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 4．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)的周期为π，则ω＝ . 5．若函数f(x)是以为周期的奇函数，且f()＝1，求f(－π)的值． 【课堂小结】 1．对周期函数的正确理解 (1)关于函数周期的理解应注意以下三点： ①存在一个不等于零的常数T； ②对于定义域内的每一个值x，都有x＋T属于这个定义域； ③满足f(x＋T)＝f(x)． (2)并不是