2024年中考数学专题复习第三部分 题型二 微专题10 辅助圆在解题中的应用 课件

微专题10 辅助圆在解题中的应用 考情及趋势分析 考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 图形变化方式 辅助圆 最值类型 结合知识点 2023 15 填空题 3 等腰直角三角形 线段旋转 定点定长作圆 点圆最值 勾股定理 2022 15 填空题 3 矩形(图形不固定) 折叠 定点定长作圆 / 相似,勾股定理 2021 15 填空题 3 等腰直角三角形 折叠 定点定长作圆 / 平行线分线段成比例 2020 22(3) 解答题 2 等腰三角形直角 旋转三角形 定点定长作圆 点圆最值 勾股定理 2019 15 填空题 3 图形不固定 折叠 定点定长作圆 / 相似,勾股定理 2018 15 填空题 3 正方形 折叠 定点定长作圆 / 勾股定理 一阶 方法训练 方法一 点圆最值 方法解读 已知平面内一定点D和⊙O,点E是⊙O上一动点,设点O与点D之间距离为d,⊙O半径为r. 位置关系 点D在⊙O内 点D在⊙O上 点D在⊙O外 图示 DE的最大值 d+r 2r d+r 此时点E的位置 连接DO并延长交⊙O于点E DE的最小值 r-d 0 d-r 此时点E的位置 连接OD并延长交⊙O于点E 点E与点D重合 连接OD 交⊙O于点E 【应用依据】直径是圆中最长的弦. 1. 如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,点D是边BC的中点,以点D为圆心,BD长为半径作⊙D,点E是⊙D上一点,若AB=8,BC=6,则线段AE长的最小值为_. 第1题图 2. 如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O内一点,AC=BC,点D是⊙O上一点,连接CD,若∠ACB=120 , ABC的面积为 ,则线段CD长的最小值为_,最大值为_. 第2题图 方法二 线圆最值 已知⊙O及直线l,⊙O的半径为r,点Q为⊙O上一动点,圆心O与直线l之间的距离为d. 方法解读 位置关系 直线与⊙O相离 直线与⊙O相切 直线与⊙O相交 图示 点Q到直线l距离的最大值 d+r 2r d+r 位置关系 直线与⊙O相离 直线与⊙O相切 直线与⊙O相交 图示 此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线,其反向延长线与⊙O的交点,即为点Q 点Q到直线l距离的最小值 d-r 0 0 此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线,与⊙O的交点即为点Q 直线l与⊙O的交点即为点Q 3. 如图,在等腰 ABC中,AB=AC=5,BC=6,以点A为圆心,2为半径作圆,圆上动点P到BC的距离的最小值为_,最大值为_. 第3题图 2 6 4. 如图,已知AB为⊙O的弦,点P为⊙O上一点,若∠APB=45 ,AB=4,则 ABP面积的最大值为_. 第4题图 方法三 定点定长作圆 (9年5考) 已知平面内一定点A和一动点B,若AB长度固定,则动点B的轨迹是以点A为圆心,AB长为半径的圆(如图) (依据:圆的定义,圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的集合) 方法解读 推广:在旋转或折叠问题中,有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹 5. 如图,在Rt ABC中,AB=6,∠BAC=60 ,将AC边绕点A逆时针旋转,点C的对应点为C′,当点C′第一次落在线段BA的延长线上时,点C运动的路径长为_. 第5题图 2 方法四 直角对直径 如图,在 ABC中,AB的长为定值,点C为动点,∠C=90 ,则点C的轨迹是以AB为直径的圆(不含A,B两点). 方法解读 注:作出辅助圆是关键,计算时结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算. 6. 如图,在正方形ABCD中,BC=4,点E为正方形内一点,且∠BEC=90 ,连接DE,则DE的最小值为_. 第6题图 方法五 四点共圆 (1)同侧型:AB为 ABC和 ABD的公共边,点C,D在AB的同侧, 如图①,当∠C=∠D,此时A,B,C,D四点共圆;如图②,当∠C=∠D=90 时,AB为⊙O的直径.(依据:同弦所对的圆周角相等) 方法解读 图① 图② (2)异侧型:如图③,由点A,B,C,D构成的四边形中,若 ∠D+∠B=180 ,则A,B,C,D四点共圆,∠A+∠C=180 .(依据:圆内接四边形对角互补) 图③ 提示:可用反证法证明 7. 如图, ABC是等边三角形,点D是平面内一点,连接AD,CD,BD,且∠CAB=∠CDB.求证:BD=AD+CD. 第7题图 证明:如解图, 在BD上取一点E,使BE=CD,连接AE,∵∠CAB=∠CDB,∴A,B,C,D四点共圆,∴∠ACD=∠ABD.又∵AC=AB,CD=BE,∴ ADC≌ AEB(SAS), 第7题解图 ∴AD=AE,∠DAC=∠EAB,∴∠DAC+∠CAE=∠EAB+∠CAE=∠CAB=60 ,∴ ADE是等边三角形,∴DE=AD,∴BD=DE+BE=AD+CD. 第7题解图 变式题 将∠CAB=∠CDB改为∠ADC=120