2024年中考数学专题复习 微专题7 全等十字模型 课件

微专题7 十字模型 一阶 模型回顾 知识关联 如图①，在勾股定理中我们学过“赵爽弦图”，则有△AED≌△BFA≌△CGB≌△DHC. 图① 如图②，稍作变形，DE⊥AF交AF于点H，得“十字模型”，则有△FBA≌△EAD. 图② 一、正方形的十字模型 模型分析 已知正方形ABCD，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点G. 模型结论：△ABE≌△BCF 【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，连接AE，BF，AE，BF相交于点G，请同学们结合图形提出自己的猜想并证明；以下是小亮的猜想：小亮：若AE⊥BF，则AE＝BF.(1)请帮助小亮证明他的猜想； 图① (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵AE⊥BF，∴∠BGE＝90°，∴∠GBE＋∠GEB＝90°，∵∠BAE＋∠GEB＝90°，∴∠BAE＝∠GBE，在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF； 图① 十字模型 【类比探究】探究一：(2)如图②，当点E，F分别在正方形ABCD的边CB，DC的延长线上时，(1)中小亮的猜想是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 图② (2)解：成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°， ∵∠CBF＋∠ABG＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF； 图② 十字模型 探究二：(3)如图③，将图①中线段BF向上平移后得到线段MN，试判断此时小亮的猜想是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)解：成立，证明：如图，过点N作NK⊥AB于点K， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝KN，∠ABE＝∠BAD＝∠MKN＝90°，∵AE⊥MN，∴∠AGM＝90°，∴∠MAG＋∠AMG＝90°， 图③ K ∟ ∵∠MNK＋∠AMG＝90°，∴∠MNK＝∠MAG，在△NKM和△ABE中， ∴△NKM≌△ABE(ASA)，∴MN＝AE； 图③ K ∟ 十字模型 二、矩形的十字模型 模型分析 已知矩形ABCD，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点G. 模型结论：△ABE∽△BCF. 【知识迁移】学习了正方形的十字模型，小唯提出了一个新的问题：(4)如图④，在矩形ABCD中，CD＝m，BC＝n，点E，M，N分别是BC，AB，DC上一点，连接AE，MN，AE，MN相交于点G，且AE⊥MN，求 的值(用含m，n的式子表示)． (4)解：如图，过点N作NK⊥AB于点K， ∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝KN，∠ABE＝∠BAD＝∠MKN＝90°，∵AE⊥MN，∴∠AGM＝90°，∴∠MAG＋∠AMG＝90°， 图④ K ∟ ∵∠MNK＋∠AMG＝90°，∴∠MNK＝∠MAG，∴△MNK∽△EAB，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ . 图④ K ∟ 解题关键点 过点N作NK⊥AB于点K，证得△MNK∽△EAB. 十字模型 二阶 综合提升 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝ BC，点E是BC边上一点，点F在CD的延长线上，且BE＝ ，DF＝2，连接EF交AD于点G，点H是AB边上一点，过点H作HN⊥EF，分别交EF，CD于点M，N，若CN＝AH＝ ，则DN的长为________． 第1题图 解题关键点 过点A作HN的平行线，分别交CD，EF于点P，Q，证得△ADP∽△FCE. 2. 如图，在正方形ABCD中，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E.若AB＝12，AE＝5，则EG的长为________． 第2题图 3. 【教材背景】课本上有这样一道题目：如图①，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF.发现其中CE＝DF. 【拓展延伸】如图②，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BF⊥AE于点G，交AD于点F，连接FE，BE. 第3题图 【问题解决】(1)若DO＝DE，求证：△ABG≌△OBG； (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DC，∴∠DEO＝∠BAO.又∵DO＝DE，∴∠DOE＝∠DEO， ∴∠AOB＝∠DOE＝∠DEO，∴∠BAO＝∠BOA.∵BF⊥AE，∴∠AGB＝∠OGB＝90°，∵BG＝BG，∴△ABG≌△OBG(AAS)； 第3题图 (2)若BF＝6，求四边形AFEB的面积； 第