2024河南中考数学备考重难专题课件：综合与实践 与折叠有关的探究

综合与实践 2024中考备考重难专题课件 与折叠有关的探究 综合与实践 与折叠有关的探究 课堂练兵 课后小练 1 典例精讲 2 3 目录 考情分析 年份 题号 题型 分值 折叠次数 设问形式 解题关键点 2023 23 解 答 题 10 折叠2次 (1)写出图中30°的角 (2)①求两角度数 ②判断两角数量关系 (3)写出线段长 (1)直角三角形斜边上中线等于斜边一半 (2)①△QMB≌△QCB， ∠MBQ=∠MCQ ②证得两三角形全等，对应角相等 (3)分类讨论思想：折叠过程中，当点Q分别在CF和DF上 典例精讲 例 (2023河南逆袭卷) 综合与实践 问题情境：如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠A＝60°，点E，F，G，H为四条边上的动点，且满足AE＝CH，AF＝CG，将菱形ABCD分别沿EF和GH折叠，点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，连接A′G，C′F，得到四边形A′FC′G. 操作探究：(1)如图①，当点A′与点C′分别落在菱形ABCD的边AD和BC上时， 求证：四边形A′FC′G是矩形； 例题图① 矩形的判定定理有哪些？ ①3个角是直角的四边形 ②对角线相等的平行四边形 依据折叠性质可得 △EA′F≌△HC′G △DA′G≌△BC′F △CGC′为等边三角形 四边形A′FC′G是平行四边形 ③有一个角为直角的平行四边形 题意可得∠A′FC′=90° 四边形A′FC′G是矩形 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AD∥BC，CD∥AB，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∴∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝∠D＝120°.由折叠可知，AF＝A′F，∵∠A＝60°，∴△AFA′是等边三角形，同理，△CGC′是等边三角形， ∴∠AFA′＝60°.∵AF＝CG， ∴AA′＝AF＝CG＝C′C＝A′F＝C′G，∴BF＝BC′＝DG＝DA′. 例题图① 在△DA′G和△BC′F中， ， ∴△DA′G≌△BC′F(SAS)，∴A′G＝FC′.∵A′F＝C′G，∴四边形A′FC′G是平行四边形．∵∠B＝120°，BF＝BC′，∴∠BFC′＝30°.∵∠BFC′＋∠A′FC′＋∠A′FA＝180°，∴∠A′FC′＝180°－60°－30°＝90°.∴四边形A′FC′G是矩形； 例题图① 例 (2023河南逆袭卷)综合与实践 问题情境：如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠A＝60°，点E，F，G，H为四条边上的动点，且满足AE＝CH，AF＝CG，将菱形ABCD分别沿EF和GH折叠，点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，连接A′G，C′F，得到四边形A′FC′G. (2)如图②，在(1)的条件下，当四边形A′FC′G是正方形时，求AF的长； 例题图② 依据折叠性质可得AF=A′F=FC′ 怎么求FC′的长？ 过点B作FC′垂线，垂足为M 30° FC′=2FM BF+AF=2 求得FC′，即AF的长 M 例题解图① (2)解：如解图①，过点B作BM⊥FC′于点M，∵BF＝BC′，∴FC′＝2FM，∵四边形A′FC′G是正方形，∴A′F＝ FC′，在Rt△FBM中，∵∠BFC′＝30°，∴设BF＝x，则FM＝ x， ∴FC′＝ x，∴AF＝A′F＝ x，∵AF＋BF＝2，∴ x＋x＝2，∴x＝ ，∴AF＝ x＝3－ ，∴当四边形A′FC′G是正方形时，AF＝3－ ； 例 (2023河南逆袭卷)综合与实践 问题情境：如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠A＝60°，点E，F，G，H为四条边上的动点，且满足AE＝CH，AF＝CG，将菱形ABCD分别沿EF和GH折叠，点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，连接A′G，C′F，得到四边形A′FC′G. 拓展延伸：(3)如图③，隐去右边折叠部分，若点F是AB边的中点，当A′F垂直于菱形ABCD的边时，请直接写出AE的长． 例题图③ 想到分类讨论 A′F⊥AB 求AE长 过点E作AF边垂线，构造直角三角形 A′F⊥AD 同理在直角三角形中求解 【解法提示】当A′F垂直于菱形ABCD的边时，分两种情况讨论如下：①如解图②，当A′F⊥AB，即A′F⊥CD时，∠AFA′＝90°，由折叠的性质得∠EFA＝∠A′FE＝45°，过点E作EG⊥AB于点G，则∠GEF＝45°，∴EG＝FG，设AG＝x，∵∠A＝60°，∴EG＝FG＝ x，AE＝2x，∵AB＝2，F是AB的中点，∴AF＝1，∴x＋ x＝1，解得x＝ ，∴AE＝