3 实数 讲义 2023-2024学年浙教版数学七年级上册

3 实数 章节引言——节选自《那些令人脑洞打开的数学》 如果在一个平面上画一条以0为原点，并向左右无限延伸的数轴，原点左边是负数，原点右边是正数，那么有理数便可以全部分散在这条数轴上，如下图所示。 至此一切似乎都是那么完美无瑕，人们也似乎看到了数的尽头，但是新的问题又随之产生：是否可以认为这条数轴上的每一个点都对应一个有理数呢？或者说是否可以认为所有的数都是有理数呢？2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派的确是这样认为的。毕达哥拉斯学派是由古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学术派别，其主要研究方向包括数学、科学和哲学。他们认为“有理数”是万物的本源，支配着整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界之所以美好和谐的源泉。“所有的数都是有理数”这个观点几乎是当时毕达哥拉斯学派成员及其追随者的共识。但是真理往往掌握在少数人手里，毕达哥拉斯学派的“离经叛道者”希伯索斯彻底推翻了这一切，于是无理数诞生了！ 人类探索的脚步是永不停歇的，数字的发展也远未到达终点。在无理数被发现后的2000多年里，人们对有理数和无理数（统称为实数）的研究已经非常深刻。所以有些人乐观地认为数学的发展已经到达了极致，数字也再无其他新的形式了。但是人们在解方程时发现有些方程在实数范围内是无解的，例如下面这个方程： 根据一元二次方程的求根公式，可以如下求解该方程： 因为根号下是一个负数，所以该方程在实数范围内是无解的。这便给数学的发展带来了一些障碍。为了解决这个问题，数学家们定义了符号i，并规定i2=-1，于是虚数诞生了。后人将实数和虚数结合起来，写成a+bi的形式，这就是复数。其中a叫作复数的实部， bi叫作复数的虚部。复数的发展也是一个漫长的过程。最初许多数学家对复数和虚数感到困惑，认为虚数是“想象的、虚无缥缈的、没有意义的数”。数学家莱布尼茨曾描述虚数为“神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，存在和虚妄两界中的两栖物”，可见当时人们对复数和虚数是多么不理解。随着数学的不断发展，复数也越来越被人们所接受。法国数学家棣莫弗、达朗贝尔以及瑞士数学家欧拉都对复数的研究和发展做出过重要的贡献。现在复数已成为数学领域中一门重要的分支，它在系统分析、信号分析、量子力学、流体力学、热力学等诸多学科领域都具有极其重要的作用。 复数也并不是数字发展的终点。在1843年，英国数学家哈密顿又提出了“四元数”的概念，四元数在数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。以四元数为基础，人们还进行了“多元数”的研究。多元数已超出了复数的范畴，因此人们称其为超复数。数的发展伴随着数学的发展不断向深度和广度延伸，我们有理由相信，随着科学技术的不断进步，人们探索自然的能力不断提高，数的概念还会不断发展，人们在数的王国中会越走越远。 无理数的发现与数学危机——节选自《那些令人脑洞打开的数学》 第一次数学危机 第一次数学危机发生在公元前400年左右。引发第一次数学危机的一个重要事件就是前面讲到的希伯索斯从边长为1的正方形的对角线中发现了无理数的存在。这个伟大的发现彻底推翻了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的理论，也给希伯索斯带来了杀身之祸。另一个事件则是数学史上一个有趣的悖论——芝诺悖论。芝诺悖论中最为著名的一条悖论就是“阿基里斯追不上乌龟问题”，这个问题向人们揭示了一个深刻的道理，那就是无穷多个数之和不一定是无穷大，还可能会收敛于一个极限的数值。 第一次数学危机在希腊数学家欧多克索斯和阿尔基塔斯两人给出了“两个数的比相等”的新定义后得到了部分的化解。直到2000多年以后，人们将数系从有理数系扩展到实数系，第一次数学危机才得到彻底的解决。 第二次数学危机 第二次数学危机发生在17、18世纪。它是围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论。众所周知，牛顿和莱布尼茨创立了微积分这门学科，他们的贡献在于把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法，并提供了明确的计算步骤。但是无论是牛顿还是莱布尼茨都没能很好地阐释什么是无穷小量以及有限量和无穷小量之间的关系等基础问题。随着微积分应用领域的不断扩大，这类基础问题也不断被人们质疑甚至批判。当时的法国数学家罗尔就曾说过：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”关于微积分的基础问题，数学界甚至哲学界进行了长达一个半世纪的争论，这就是第二次数学危机。第二次数学危机的解决是在19世纪，从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到维尔斯特拉斯、狄德金和康托尔的工作结束，中间经历了半个多世纪，部分数学家如图所示。 第二次数学危机的解决为数学分析奠定了一个更加严格的基础，也促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化的进程。 第三次数学危机 第三次数学危机产生于19世纪末和20世纪初。当时康托尔的集合论业已成为现代数学的基础，而正是由于在康托尔