专题九 一次函数--考点4 直线与图形变换问题2023-2024学年北师大版八年级数学上册

专题九 一次函数 考点4 直线与图形变换问题 考法1 直线与平移变换 典例精析 [例]一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象由直线y＝3x 向下平移得到，且过点A（1，2），求直线y＝kx＋b与坐标轴围成的三角形的面积. 命题点 ①一次函数图象的平移；②待定系数法求一次函数的解析式；③三角形的面积 规范解答 解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到， ∴k＝3，∴y＝3x＋b. 将点A（1，2）代入y＝3x＋b，得3＋b＝2，解得b＝－ 1， ∴一次函数的解析式为y＝3x－1 在y＝3x－1中，令x＝0，得y＝－1，即图象与y轴的交点为（0，－1）.令y＝0，得x＝ 即图象与x轴的交点为 （ ，0）， ∴直线y＝kx＋b与坐标轴围成的三角形的面积为 方法归纳 针对训练 1.将一次函数y＝kx＋2的图象向下平移3 个单位长度后经过点（－2，1），则k的值为（ ）。 A.－1 B.2 C. 1 D.－2 2.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且B（6，2），直线y＝2x＋1以每秒1个单位长度的速度向下平移，经过t秒该直线可将▱OABC分成面积相等的两部分，则t的值为（ ）。 考法2 直线与轴对称变换 典例精析 [例]若直线y＝－4x＋m 与直线y＝nx＋2（n≠0）关于y轴对称，求直线y＝mx＋n与坐标轴围成的三角形的面积. 命题点 ①一次函数的图象与几何变换；②待定系数法求一次函数的解析式；③三角形的面积 . 规范解答 解：∵直线y＝－4x＋m与直线y＝nx＋2（n≠ 0）关于y轴对称， ∴m＝2，n＝4， ∴直线y＝mx＋n 的函数解析式为y＝2x＋4. 令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝－2， ∴直线y＝mx＋n与坐标轴的交点为（－2，0）和（0，4）， ∴直线y＝mx＋n与坐标轴围成的三角形的面积为 ×2×4＝4. 方法归纳 直线的对称规律 （1）直线y＝kx＋b关于x轴对称得到直线y＝－kx－b；（2）直线y＝kx＋b关于y轴对称得到直线y＝－kx＋b；（3）直线y＝kx＋b关于原点对称得到直线y＝kx－b. 针对训练 1.在平面直角坐标系中，已知A，B是x轴上的两点，点B在点A左侧，且A（6，0），AB＝10，M是y轴上一点，连接BM，将△ABM沿直线AM 折叠，点B 恰好落在y轴的点B＇处. （1）求直线AB＇的函数解析式； （2）求直线AM 的函数解析式. 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，点 D在y轴的负半轴上.若将△DAB 沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处. （1）求AB 的长. （2）求点C和点D 的坐标. （3）在y 轴上是否存在一点 P，使得 ＝ ?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 考法3 直线与旋转变换 典例精析 [例]如图，一次函数y＝2x＋b 的图象经过点M（1，3），且与x 轴、y轴分别交于A，B 两 （1）b＝（ ）。 （2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C 的坐标及直线l的函数解析式. 命题点 ①一次函数的图象与几何变换；②待定系数法求一次函数的解析式. 规范解答 解：（1）∵一次函数y＝2x＋b的图象经过点M（1，3），∴3＝2＋b，解得b＝1.故答案为 1. （2） 由一次函数y＝2x＋1可得A（ － ，0）B（0，1）， ∴OA＝ ，OB＝1. 如图，过点C作CD⊥y轴于点D. ∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°， ∴AB＝BC. ∵∠ABO ＋ ∠BAO ＝ 90°＝ ∠ABO ＋∠CBD， ∴∠BAO＝∠CBD. 在△AOB 和△BDC 中，， ∴△AOB≌△BDC（AAS）， ∴OA＝BD＝ ，CD＝OB＝1， ∴OD＝OB－BD＝ ∴C（1， ） 设直线l的函数解析式为y＝mx＋n. 把A（ － ，0），C（1， ）代入， 得 解得 ， ∴直线l的函数解析式为y＝x＋ 方法归纳 直线的旋转规律 （1）绕坐标原点旋转90°： ①直线y＝kx＋b绕坐标原点顺时针旋转90°得到直线y＝x＋ ②直线y＝kx＋b绕坐标原点逆时针旋转90。得到直线y＝x （2）绕直线上某点旋转90°或45°： 如图所示，构造“K”型线、三垂直全等，利用全等三角形的性质求出对应点坐标，再根据待定系数法，求出一次函数的解析式. 针对训练 1.已知一次函数y＝3x＋12的图象与x轴、y轴分别相交于A，B 两点，将直线AB 绕点A顺时针旋转90°，则点B 的对应点B＇的坐标为（