14.1.3 反证法讲义2023-2024学年华东师大版数学八年级上册

14.1.3 反证法 知识梳理 1、有时我们要直接说明结论成立的理由非常不便，这时我们可以说明结论的反面不成立，这就是反证法。反证法是数学中一种重要的证题方法。 2、用反证法证明命题的一般步骤是： ①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 3、 反证法的运用关键是注意以下问题： （1） 准确的作出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提； （2） 在推论时，注意如何导致矛盾； （3） 明确哪些类型的数学命题宜用反证法来证明。 （4）运用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与已知条件的矛盾，也可以是与某个公理、定理的矛盾，也可以是证明过程中自相矛盾。 例题 例．阅读下面关于“不是有理数”的证明过程，并填空： “不是有理数”，对于这一事实的证明，最早出现在亚里士多德（Aristotle）的著作中，但他声明来于毕达哥拉斯学派．欧几里得（Euclid）在《原本》中给出了证明． 证明：假设应是有理数，由于，所以必然有两个正整数a，b， 使，① 而且a，b互质（即没有1以外的公因数）． 等式①两边平方，得 ，即． 所以________．② 上面式子的右边是偶数，所以左边也是偶数，因而b也是________， 可设（k是正整数），代入②，得 ， 即． 所以a也是偶数，这说明a，b都是偶数，不是________， 与假设相矛盾，即________有理数． 【答案】；偶数；互质的两个数；不是 【分析】 根据被除数等于商乘以除数可得；其它几问根据奇数、偶数、互质数的概念和反证法的要求填写即可． 【详解】 解： 故答案为： ∵是偶数，∴也是偶数． 故答案为：偶数 ∵a、b都是偶数，∴a、b不是互质数． 故答案为：互质数 ∵假设“是有理数，”，在假设的基础上，经过推理得出的结论“a、b不是互质数”与“a、b是互质数”相矛盾， ∴假设“是有理数”不成立． ∴不是有理数． 故答案为：不是 【点睛】 本题考查了反证法的知识点，熟知反证法的步骤和方法是解题的基础，等式的恒等变形、奇数、偶数和互质数的概念的理解和运用是解题的关键． 基础训练 一、单选题 1．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设(　　) A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角小于或等于 D．每一个内角都小于 2．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设（　　） A．四边形中所有角都是锐角 B．四边形中至多有一个角是钝角或直角 C．四边形中没有一个角是锐角 D．四边形中所有角都是钝角或直角 3．用反证法证明某个命题的结论“”时，第一步应假设（       ） A． B． C． D． 4．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中（       ） A．没有一个角是锐角 B．每一个角都是钝角或直角 C．至少有一个角是钝角或直角 D．所有角都是锐角 5．用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（     ） A．直角三角形的每个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45° C．直角三角形的每个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45° 6．如图，在中，，，求证：.当用反证法证明时，第一步应假设（     ） A． B． C． D． 7．用反证法证明“若，则”时，应假设（       ） A． B． C． D． 8．用反证法证明“”，应先假设（       ） A． B． C． D． 9．若要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设（       ） A． B． C． D． 10．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（       ） A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角 C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角都是钝角或直角 二、填空题 11．用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设________________． 12．“三角形的三个内角中至少有两个是锐角”是___________事件．（填“确定”或“不确定”） 13．用反证法证明：若内错角不相等，则两直线不平行．证明时可以先假设 ____． 14．用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设_____． 15．用反证法证明命题，“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，则a，b，c中至少有一个偶数”. 第一步应假设______. 三、解答题 16．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直