重难培优07数列求和归类-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

重难培优07数列求和归类 题型一 倒序相加法 1．已知函数，正项等比数列满足， 则 （    ） A．2023 B． C．2022 D．4046 2．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（    ） A． B．2017 C．4034 D．8068 3．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（    ） A． B． C． D． 4．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 . 5．已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 6．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型二 错位相减法 7．已知数列满足，，设. (1)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (2)求的通项公式及其前项和. 8．设数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 9．已知数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 10．已知数列的首项为0，且，数列的首项，且对任意正整数m，n恒有． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前n项和； 11．已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列 ， 求数列的前项和． 12．设数列的前项和为，数列是递增的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 题型三 裂项相消法 13．已知数列的前n项和为，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 14．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 15．已知等差数列的前项和为，，. (1)求及； (2)若，求数列的前项和. 16．已知是公比不为的等比数列，，且． (1)求的通项公式； (2)设，，证明：． 17．记为数列的前项和，已知，． (1)证明：当时，数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 18．已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 题型四 分组求和法（数列相加型） 19．设等比数列的前项和为，已知． (1)求实数的值； (2)设，求数列的前项和． 20．已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 21．已知数列，满足，为数列的前项和，，（），记的前项和为，的前项积为，且． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 22．在数列中，， (1)证明：数列是等比数列. (2)求数列的前项和. 23．已知各项都为正数的数列满足，，，等差数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求数列的前项和. 24．已知数列满足，数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列的前n项和． 题型五 分组求和法（分段数列型） 25．已知等比数列的前n项和为，其中公比，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 26．已知数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 27．在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 28．从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题. 已知为数列的前项和，，，且________. (1)求数列的通