专题10 数列不等式的放缩问题（7大核心考点）（课件）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

专题10 数列不等式的放缩问题 2024 高考二轮复习讲练测 01 02 03 04 目录 CONTENTS 考情分析 知识建构 核心考点 方法技巧 真题研析 01 PART ONE 考情分析 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢． 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 考点要求 考题统计 考情分析 数列不等式 2023年II卷第18题，12分 2022年I卷第17题，10分 2021年乙卷第19题，12分 2021年II卷第17题，10分 2021年浙江卷第20题，15分 【命题预测】 预测2024年高考，多以解答题形式出现，具体估计为： （1）导数压轴题第二问，利用导数证明数列不等式，难度较大． （2）数列解答题第二问，难度中等偏上，属综合性问题． 02 PART TWO 知识建构 03 PART THREE 方法技巧 真题研析 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． （15）二项式定理 ①由于， 于是 ②， ； ， （16）糖水不等式 若，则；若，则． 1．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 【解析】（1）设等差数列的公差为，，为的前项和，，， 则，即，解得， 故； （2）证明：由（1）可知，， ， 当为偶数时，， ， ， 当为奇数时，，， ，故原式得证． 2．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【解析】（1）已知，是公差为的等差数列， 所以，整理得，①， 故当时，，②， ①②得：， 故， 化简得：，，，，； 所以， 故（首项符合通项）． 所以． 证明：（2）由于， 所以， 所以． 3．（2021•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前项和．证明：． 【解析】（1），，成等差数列，， 是首项为1的等比数列，设其公比为， 则，， ， ． （2）证明：由（1）知，， ， ，① ，② ①②得，， ， ， ． 04 PART FOUR 核心考点 【例1】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知，． （1）证明：当时，数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【解析】（1）证明：因为，，为数列的前项和， 当时，，当时，由①，可得②， ①②可得，即，所以，， 又因为，则当时，数列是等比数列，其公比为， 即当时，，则， 不满足，所以，． （2）证明：， 则． 综上，对任意的，． 考点题型一：先求和后放缩 【对点训练1】（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知为数列的前项和，，，记． （1）求数列的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，求证：． 【解析】（1）由，得，， 则，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，． （2），， ， 当为奇数时，，当为偶数时，， 由，可知是递增数列， ， 综上，． 考点题型一：先求和后放缩 【例2】（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知数列满足，，且． （1）令，求； （2）记的前n和为，求证：． 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以，因为，所以时， ，也适合，所以． （2）因为，故， 又因为，则，可知，所以， 而， 所以，所以， 所以所以． 考点题型二：裂项放缩 【对点训练2】（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知正项数列中，，前项和为，且__________．请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①，②． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【解析】（1）若选①： 由，得， 即，因为为正项数列，所以，是公差为2的等差数列， 由，得； 若选②：，当时，，两式作差得：， 则，两式作差得， 即，所以数列为等差数列，时，，可得， 公差，则； （2）由（1）知，，又， 考点题型二：裂项放缩 【例3】（2023·河南·高三校联考期中）已知数列的前n项和为，且． （1）求； （2）若，记数列的前n项和为，求证：． 【解析】（1）当时，，解得； 当时，，，则， 因为，所以数列是以为首项，为