6.3 实数-2023-2024学年七年级数学下学期同步学案（人教版）

6.3 实数 【学习目标】 1.了解无理数的概念，能够识别无理数。 2.了解实数的概念和实数的分类。 3.能够掌握实数与数轴的关系，以及实数的相反数、绝对值等概念和性质。 4.能够比较实数的大小，进行实数的混合运算。 【阅读教材P53-P56页，完成下列填空】 很多数的平方根和立方根都是 小数，无限不循环小数又叫做 。例如，-， ，等都是无理数，π=3.14159265……也是 。 像有理数一样，无理数也有 之分。例如，，，π是 ，--，-π是 。 有理数和无理数统称 。这样，我们学过的数可以这样分类： 由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也有 之分，所以实数还可以按大小分类如下： 事实上，每一个无理数都可以用 上的一个点表示出来。 当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是 的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 ，与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的 。 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。 数a的相反数是 ，这里a表示任意一个实数。 一个正实数的绝对值是 ；一个负实数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 。即设a表示一个实数，则 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行 运算，任意一个实数可以进行 运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。 考点一：实数的概念 例1．把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 【变式演练】 把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 考点二：实数的性质 例2．已知实数a，b，c满足，且，则 ． 【变式演练】 如果表示实数，那么的值（　　） A．不可能是负数 B．可能是零或者负数 C．必定是零 D．必定是正数 考点三：实数与数轴 例3．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 ． 【变式演练】 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示0的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点到达点的位置，则点表示的数是 ．（结果保留） 考点四：实数的大小比较 例4．如图，数轴上点M表示的数可能是（　　） A． B．3 C．2 D． 【变式演练】 在数轴上表示出下列各数：，，，，，并按从小到大的顺序用“”连接． 考点五：无理数整数部分的有关计算 例5．已知的平方根是的立方根是1，c是的整数部分，则的值为 ． 【变式演练】 的平方根为x，的整数部分为y，则的立方根为 ． 考点六：实数的混合运算 例6．计算： 【变式演练】计算： 考点七：程序设计与实数运算 例7．有一个数值转换器，原理如下图：当输入的x为81时，输出的y是（    ） A． B．3 C． D．9 【变式演练】 如图是一个数值转换器，当输入的值为289时，则输出的值是 ． 考点八：新定义下的实数运算 例8．定义“★”是一种新运算，对于任意有实数．当时，；当时，．例如：，，那么 ． 【变式演练】定义一种新运算： ；； ；． 观察上述各式，解答下列问题． (1) ； ． (2)请计算：的值． 考点九：与实数有关的规律题 例9．观察下列各式： 第1个式子：． 第2个式子：． 第3个式子：． …… 根据其规律，解答下列问题： (1)__________． (2)第n个式子为__________． (3)利用以上规律计算：． 【变式演练】 观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【探究一】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满